Question

Powierzchnia boczna walca po rozcięciu i rozwinięciu jest prostokątem o przekątnej d = √3 która tworzy z dłuższym bokiem kąt α = 30 °. Oblicz objętość walca.

Answer 1

Rozumiem, że d jest długością przekątnej prostokąta otrzymanego przez rozwinięcie powierzchni bocznej. Trzeba rozważyć dwa przypadki:
1) dłuższy bok jest obwodem podstawy, albo
2) dłuższy bok jest wysokością (tworzącą) walca.
Przypadek 1):
Trójkąt, którego bokami są dana przekątna, tworząca walca i obwód podstawy jest trójkątem prostokątnym będącym połową równobocznego o boku równym danej przekątnej. Stąd wysokość walca jest połówką tego boku, czyli wynosi
h=√3/2,
a obwód podstawy jest wysokością tego trójkąta równobocznego
2πr=(√3·√3)/2=3/2.
W konsekwencji
r=3/(4π).
Objętość walca wynosi
V=πr²h=π·(3/(4π))²(√3/2)=(9√3)/(32π).
Przypadek 2):
Tym razem obwód podstawy jest połową boku trójkąta równobocznego o boku √3, czyli
2πr=√3/2,
czyli
r=√3/(4π).
Wysokość walca jest wysokością w tym trójkącie, czyli
h=3/2.
Objętość wynosi
V=πr²h=π·(√3/(4π))²·(3/2)=9/(32π).