Question

Potrzebuje rozwiązać na szybko 5 i 6 zadanie

Answer 1

Rozwiązanie w załączniku

Answer 2

4)
Równanie szukanego okręgu O1:
(x-a)^2 + (y-b)^2 = r1^2
gdzie
W1 = (a,b) - środek okręgu
r1 - promień okręgu
W1 = (1,2)
(x-1)^2 + (y-2)^2 = r1^2

Równanie drugiego okręgu O2:
x^2 + y^2 +4 x + 2y - 4 = 0
(x+2)^2 - 4 + (y+1)^2 - 1 - 4= 0
(x+2)^2 + (y+1)^2 = 9

Drugi okrąg ma środek w punkcie W2( -2 , -1) i promień r2 = √9 = 3

Aby okręgi były styczne zewnętrznie
|W1W2| = r1+r2
|W1W2| = √[(1-(-2))^2 + (2-(-1))^2] = √(9 + 9) = √18 = 3√2
r1 + r2 = 3√2
r1 = 3√2-r2 = 3√2-3

Równanie szukanego okręgu ma postać:

(x-1)^2 + (y-2)^2 = (3√2-3)^2
(x-1)^2 + (y-2)^2 = 18 - 18√2 + 9
(x-1)^2 + (y-2)^2 = 27-18√2

5)
Szukana prosta:
y = ax+b
Aby prosta była prostopadła do innej prostej to współczynniki kierunkowe muszą spełaniać zależność:
a' = -1/a

x-y = 7
y = x - 7
a' = 1
1 = -1/a
a = -1

Nasz aprosta :
y = -x + b
Jest 2 takie proste prostopadłe do prostej x-y = 7 i styczne do danego okręgu
Aby prosta była styczna musi mieć 1 punkt wspólny z okręgiem.
Rozwiązuję układ równań:
(x+1)^2 + (y - 3)^2 = 10
y = -x + b

(x+1)^2 + (-x+b-3)^2 = 10
x^2 + 2x + 1 + (b-3)^2 -2(b-3)x + x^2 = 10
2x^2 + x(2-2b+6) +(b-3)^2-9 = 0
2x^2 + x(8-2b) + b^2 - 6b + 9 - 9 = 0
2x^2 + x(8-2b) + b^2 - 6b  = 0
Δ = (8-2b)^2 - 4*2 * (b^2 - 6b  ) = 64 - 32b + 4b^2 - 8b^2 + 48b = -4b^2 + 16b+64
Δ = 0 - aby było jedno rozwiązanie
-4b^2 + 16 b + 64 = 0  |:4
-b^2 + 4b + 16 = 0
Δ = 4^2 - 4*(-1)*16 =16 + 64 =80
√Δ = √80 = 4√5
b1 = (-4-4√5)/(-2) = 2√5+2≈6,47
b2 = (-4+4√5)/(-2) = 2-2√5≈-2,47

Odp:
y = -x +2√5+2
lub
y = -x + 2 - 2√5

^ - znaczy do potęgi