Question

potrzebuję udowodnienie na Twierdzenie Pitagorasa

pilne

Answer 1

W dowolnym trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej tego trójkąta.

 

Liczba różnych dowodów twierdzenia Pitagorasa jest bardzo duża – Euklides w Elementach podaje ich osiem, kolejne pojawiały się na przestrzeni wieków i pojawiają aż po dni dzisiejsze.

Niektóre z dowodów są czysto algebraiczne (jak dowód z podobieństwa trójkątów), inne mają formę układanek geometrycznych (prawdopodobny dowód Pitagorasa), jeszcze inne oparte są o równości pól pewnych figur. Zaprezentujemy tu jedynie kilka wybranych dowodów, do innych podajemy odsyłacze na końcu artykułu.

Dowód - układanka[edytuj]

Dany jest trójkąt prostokątny o bokach długości i jak rysunku z lewej. Konstruujemy kwadrat o boku długości w sposób ukazany na rysunku z lewej, a następnie z prawej. Z jednej strony pole kwadratu równe jest sumie pól czterech trójkątów prostokątnych i kwadratu zbudowanego na ich przeciwprostokątnych, z drugiej zaś równe jest ono sumie pól tych samych czterech trójkątów i dwóch mniejszych kwadratów zbudowanych na ich przyprostokątnych. Stąd wniosek, że pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej jest równe sumie pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych.

Szczepan Jeleński w książce Śladami Pitagorasa przypuszcza, że w ten sposób mógł udowodnić swoje twierdzenie sam Pitagoras.

Powyższy dowód, choć prosty, nie jest elementarny w tym sensie, że jego poprawność wymaga uprzedniego uzasadnienia, że pole kwadratu złożonego z trójkątów i mniejszych kwadratów jest równe sumie pól tych figur. Może się to wydawać oczywiste, jednak dowód tego faktu wymaga uprzedniego zdefiniowania pola, na przykład poprzez konstrukcję miary Jordana.

Uwaga ta dotyczy wszystkich dowodów opartych na podobnych ideach.

Answer 2

Oto mamy trójkąt prostokątny ABC
a, b - jego przyprostokątne,
c - przeciwprostokątna.
Mamy udowodnić, że: a2 + b2 = c2
W tym celu narysujemy kwadrat o boku równym sumie długości przyprostokątnych a i b.Pozostałe części dużego kwadratu stanowią pola dwóch prostokątów o bokach a i b i przekątnej c.
Przygotowałem wam części składowe, identyczne jak te, które wystąpiły na poprzednim rysunku, czyli kwadrat o boku (a + b), rozcięte dwa prostokąty o boku a i o boku b oraz przeciwprostokątnej c.
Na ten kwadrat nakładam te 4 trójkąty i przypinam magnesami.

W tym kwadracie pozostałą część pola stanowi kwadrat o boku c. Pole jego będzie więc równe P3 = c2.
Jeżeli porównamy oba kwadraty, to wyraźnie widać, że suma pól kwadratów P1 i P2 jest równa polu kwadratu P3. A więc: suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych trójkąta prostokątnego jest równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej tego trójkąta,
tj. a2 + b2 = c2. I to jest nasz dowód tego twierdzenia.