Potrzebuję rozwiązania wszystkich zadań wraz z objaśnieniem ;) Daję naj :).... Question from @Zulander

December 2018 1 13 Report

Potrzebuję rozwiązania wszystkich zadań wraz z objaśnieniem ;) Daję naj :)

Paawełek Zad. 1: każda parabola ma jedną oś symetrii opisaną równaniem x=p gdzie p to pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli.
w a) masz od razu postać kanoniczną z której odczytujesz p=-1 (więc oś symetrii ma równanie x=-1)
W b) wyznaczasz p za pomocą wzoru:
$p=-\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-2}{-2}=-\dfrac{2}{2}=-1$
Oś symetrii : x=-1

Zad. 2 obie parabole mają ujemny współczynnik przy x^2 więc są rosnące do p, a od p zaczynają maleć. W a) jest postać kanoniczna, więc od razu odczytujesz p=-7 więc
Funkcja rośnie gdy $x \in (-\infty, -7 \rangle$
Funkcja maleje gdy $x \in \langle -7,+\infty)$
TAk samo w b):
$p=-\dfrac{b}{2a}= - \dfrac{2}{\frac{2}{3}}=-2 \cdot \dfrac{3}{2}=-3$
Funkcja rośnie gdy $x\in(-\infty, -3\rangle$
Maleje gdy $x\in\langle -3,+\infty)$

Zad. 3 funkcja a) ma dodatni współczynnik przy x^2 (ramiona paraboli skierowane w górę) - jej zbiór wartości wynosić będzie od q (włącznie z q) do +nieskończoności, gdzie q to druga współrzędna wierzchołka paraboli. Mamy (z postaci kanonicznej funkcji):
$q=-7 \\ \\ Z_w : \ y \in \langle -7,+\infty)$

w b) na odwrót - współczynnik przy x^2 ujemny, więc zbiór wartości od -nieskończoności do q:
$q=-\dfrac{\Delta}{4a}=-\dfrac{4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2)}{4 \cdot (-2)}=-\dfrac{16+24}{-8}=\dfrac{40}{8}=5 \\ \\ Z_w: \ y\in(-\infty, 5\rangle$

Zad. 4 W a) od razu z postaci kanonicznej odczytujemy:
$W(-\frac{1}{2},-3)$
W b) ze wzorów:
$p=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{4}{-4 \cdot 2}= \dfrac{1}{2} \\ \\ q=-\dfrac{\Delta}{4a}= -\dfrac{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}{4 \cdot (-4)} = -\dfrac{16+16}{-16}= \dfrac{32}{16}=2\\ \\ \hbox{Wspolrzedne wierzcholka:} \\ \\ W(p,q) = (\frac{1}{2},2)$

Zad. 5:

$f(x)=3x^2-6x+3=3(\underbrace{x^2-2x+1}_{(x-1)^2}) = 3(x-1)^2$
[Wykres w załączniku]
Jest to parabola y=3x^2 przesunięta o jedną jednostkę w prawo.
Zwróć uwagę na skale osi "OY" - tam jedna kratka = 2 jednostki!

Zad. 6. Wykorzystam wzór a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

$f(x)=4(x-1)^2-4 = 4 \left[ (x-1)^2-1\right]= 4 \left[ (x-1+1)(x-1-1)\right]=\\ \\ =4x(x-2)$

Zad. 7 każdy nawias przyrównuję do zera (pierwiastki zaznaczone pogrubioną czcionką): a)
x+4 = 0
x=-4

x-1/2 = 0
x=1/2
b):

x-5/2=0
x=5/2

x+3=0
x=-3

Zad. 8 Wyznaczam pierwiastki x1 i x2 równania f(x)=0
Postać iloczynowa będzie postaci a(x-x1)(x-x2) gdzie a=2 (wspołczynnik przy x^2) mamy;
$2x^2+3x+1=0 \\ \Delta= 3^2- 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9-8=1 \\ \sqrt{\Delta}=1 \\ \\ x_1=\dfrac{-3-1}{2 \cdot 2}=\dfrac{-4}{4}=-1 \\ \\ x_2=\dfrac{-3+1}{2 \cdot 2}=\dfrac{-2}{4}=-\dfrac{1}{2} \\ \hbox{Skad:} \\ \\ f(x)=2(x+\frac{1}{2})(x+1)$

Zad. 9
Sprawdzamy pierw czy współrzędna x wierzchołka paraboli należy do przedziału podanego przez Ciebie. Jeśli tak - to w nim ma maksimum (bo współczynnik przy x^2 jest ujemny) mamy:
$x_w=-\dfrac{b}{2a}= -\dfrac{4}{-2}=\dfrac{4}{2}=2$

Należy więc wartość maksymalna jest dla x=2 wyniesie ona:
$y_{max} = f(2) =-2^2 + 4 \cdot 2 -9=-4+8-9=-5$
Wartość minimalna będzie na krańcu przedziału - albo dla x=-1 albo dla x=3. Wyznaczam oba i sprawdzam w którym punkcie jest mniejsza:
$f(-1)=-(-1)^2 + 4\cdot (-1)-9 = -1-4-9=-14 \\ \\ f(3)=-3^2+4 \cdot 3-9=-9+12-9=-6 \\ \hbox{Widze ze} \ \ f(-1)<f(3) \ \hbox{wiec:} \\ y_{min}=-14$

Zad. 10:
$x^2-10x+9=0 \\ \\ \Delta=(-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 100 - 36 = 64 \\ \\ x_1=\dfrac{10+8}{2}=\dfrac{18}{2}=9 \\ \\ x_2=\dfrac{10-8}{2}=\dfrac{2}{2}=1$

Zad. 11:
$x^2-6x+8>0 \\ \hbox{Lewa strone zamieniam na postac iloczynowa:} \\ \Delta=(-6)^2-4 \cdot 8 \cdot 1 = 36-32=4 \\ \\ x_1=\dfrac{6+2}{2}=4 \\ x_2=\dfrac{6-2}{2}=2 \\ \hbox{mamy:} \\ \\ (x-4)(x-2)>0 \\ \hbox{Ramiona paraboli skierowane w gore, wiec:} \\ x\in(-\infty, 2)\cup(4,+\infty)$
(można to zaznaczyć na osi liczbowej, jak w załaczniku)

1 votes Thanks 1