Załóżmy, że kąt [tex]\alpha[/tex] jest ostry oraz [tex]tg\alpha =2[/tex].
[tex]\frac{sin \alpha -4 cos \alpha }{cos \alpha } =\frac{sin \alpha }{cos \alpha }-\frac{4cos \alpha }{cos\alpha }=tg\alpha -4=2-4=-2, \ \ \ \ \ \mathrm{Odp. \ A.}[/tex]
[tex]\mathrm{\mathbf{sin^2\alpha +cos^2\alpha =1}}[/tex], oraz wcześniej wymienionej tożsamości.
Przekształcamy:
[tex]\mathrm{tg \ \alpha =\dfrac{sin \ \alpha }{cos \ \alpha }\iff cos\alpha \ tg\alpha =sin\alpha \iff sin^2\alpha =cos^2\alpha \ tg^2\alpha}[/tex]
Podstawiamy do jedynki trygonometrycznej:
[tex]\mathrm{sin^2\alpha +cos^2\alpha =1} \\ \\ \mathrm{cos^2\alpha \ tg^2\alpha +cos^2\alpha =1}[/tex]
Podstawiamy [tex]\mathrm{tg\alpha =2}[/tex]:
[tex]\mathrm{4cos^2\alpha+cos^2\alpha =1} \\ \\ 5cos^2\alpha =1 \\ \\ cos^2\alpha =\frac{1}{5} \\ \\ \mathrm{cos\alpha =\frac{1}{\sqrt{5} } \ \ \vee \ \ cos\alpha =-\frac{1}{\sqrt{5} } }[/tex]
Zatem [tex]\mathrm{cos\alpha= \frac{1}{\sqrt{5} }}[/tex] (patrz założenie, drugą odp. odrzucamy)
[tex]5sin^2\alpha -3cos\alpha =5(1-cos^2\alpha )-3cos\alpha =5(1-\frac{1}{5} )-3\cdot\frac{1}{\sqrt{5} }=5-1-\frac{3}{\sqrt{5} } =-\frac{3}{\sqrt{5} }+4 \\ \\ \mathrm{Odp. \ \ C.}}[/tex]
" Life is not a problem to be solved but a reality to be experienced! "
© Copyright 2013 - 2025 KUDO.TIPS - All rights reserved.
Verified answer
Załóżmy, że kąt [tex]\alpha[/tex] jest ostry oraz [tex]tg\alpha =2[/tex].
[tex]\frac{sin \alpha -4 cos \alpha }{cos \alpha } =\frac{sin \alpha }{cos \alpha }-\frac{4cos \alpha }{cos\alpha }=tg\alpha -4=2-4=-2, \ \ \ \ \ \mathrm{Odp. \ A.}[/tex]
[tex]\mathrm{\mathbf{sin^2\alpha +cos^2\alpha =1}}[/tex], oraz wcześniej wymienionej tożsamości.
Przekształcamy:
[tex]\mathrm{tg \ \alpha =\dfrac{sin \ \alpha }{cos \ \alpha }\iff cos\alpha \ tg\alpha =sin\alpha \iff sin^2\alpha =cos^2\alpha \ tg^2\alpha}[/tex]
Podstawiamy do jedynki trygonometrycznej:
[tex]\mathrm{sin^2\alpha +cos^2\alpha =1} \\ \\ \mathrm{cos^2\alpha \ tg^2\alpha +cos^2\alpha =1}[/tex]
Podstawiamy [tex]\mathrm{tg\alpha =2}[/tex]:
[tex]\mathrm{4cos^2\alpha+cos^2\alpha =1} \\ \\ 5cos^2\alpha =1 \\ \\ cos^2\alpha =\frac{1}{5} \\ \\ \mathrm{cos\alpha =\frac{1}{\sqrt{5} } \ \ \vee \ \ cos\alpha =-\frac{1}{\sqrt{5} } }[/tex]
Zatem [tex]\mathrm{cos\alpha= \frac{1}{\sqrt{5} }}[/tex] (patrz założenie, drugą odp. odrzucamy)
[tex]5sin^2\alpha -3cos\alpha =5(1-cos^2\alpha )-3cos\alpha =5(1-\frac{1}{5} )-3\cdot\frac{1}{\sqrt{5} }=5-1-\frac{3}{\sqrt{5} } =-\frac{3}{\sqrt{5} }+4 \\ \\ \mathrm{Odp. \ \ C.}}[/tex]