Question

POTRZEBUJĘ PILNIE !!!! DWA ZADANKA>> PILNIEEEEEEE PROSZE O POMOOOOC!

1) Wyznaczyć dziedzinę funkcji:

a) f (x) = 1 +pirwiastek z log (x do kwadratu− 1).

b) f (x) = pierwiastek z x do kwadratu - 3x +2

2)Dla jakich wartości parametru m oba miejsca zerowe funkcji f(x) = x do kwadratu + (2m-4)x + 2m +1 są większe od -3

Answer 1

1a)

 

Argument pierwiastka ma być nieujemny co oznacza, że liczba logarytmowana musi być większa lub równa 1 (podstawę logarytmu, jeśli nie jest napisana, przyjmujemy za równą 10).

Czyli: [ czytaj ^2 jako "do kwadratu" ]

 

x^2 - 1 >= 1 ; stąd  x^2 >= 2

 

Dziedzina: D = (-oo; -pierwiastek(2) > U  < -pierwiastek(2); +oo) 

 

1b)  

 

(Mam nadzieję, że dobrze zrozumiałem zapis z zadania)

 

Argument pierwiastka ma być nieujemny co oznacza, że

 

x^2-3x+2 >= 0 

 

Za pomocą wzorów Viete'a (suma pierwiastków = 3, iloczyn = 2)

znajdujemy pierwiastki równania x^2-3x+2 = 0

x1 = 1 ; x2 = 2

Przy x^2 jest znak plus więc parabola określana funkcją kwadratową ma kształt litery "U". Wobec tego dodatnie wartości występują na lewo od x=1 i na prawo od x=2

 

Dziedzina: D = (-oo; 1 > U < 2; +oo) 

==========================================

 

2)

W funkcji:  f(x) = x^2 + (2m-4)x +2m +1  

współczynnik przy x^2 jest dodatni więc wykres f(x) ma kształt litery "U"

Wystarczy więc, aby mniejszy z pierwiastków był większy od -3.

Znajdźmy mniejszy pierwiastek.

 

delta = (2m-4)^2 - 4(2m + 1) = 4(m^2 - 6m + 3)

Równanie f(x) = 0 w ogóle ma rozwiązanie gdy delta >= 0.

Równanie   m^2 - 6m + 3 = 0 ma 2 rozwiazania:

m1 = 3 - pierwiastek(6) = około 0,55 

m2 = 3 + pierwiastek(6) = około 5,45

 

Czyli m musi należeć do przedziału:

(-oo;   3 - pierwiastek(6) > U < 3 + pierwiastek(6); +oo)

w przybliżeniu: (-oo; 0,55> U <5,45; +oo)

 

Mniejszy pierwiastek to:

x1 = { -2(m - 2) - pierwiastek[ 4(m^2 - 6m + 3)] } /2 = 

= 2 - m -  pierwiastek(m^2 - 6m + 3)  

 

Prowadzi to do nierówności:

 

2 - m -  pierwiastek(m^2 - 6m + 3)  > -3 

 

Przenosimy pierwiastek na prawo, -3 na lewo i podnosimy obie strony do kwadratu.

Jest to operacja ułatwiająca rozwiązanie, ale ryzykowna, należy sprawdzić zawsze otrzymane wyniki. Patrz dalej.

 

  

(5 - m)^2 > m^2 - 6m + 3 ; stąd

 

22 - 4m > 0 ;  czyli m należy do (-oo, 11/2)

 

Jednak wskutek podnoszenia do kwadratu pojawiają się fikcyjne rozwiązania. Dlatego zbadajmy wartość x1 na granicach przedziału, dla m = 11/2 oraz m = 3 + pierwiastek(6).

Oblczenia dają odpowiednio: -4 i  -1 - pierwiastek(6). Obie te liczby są mniejsze od -3 i należy odrzucić rozwiązanie w przedziale <3 + pierwiastek(6); 11/2) gdyż powstało ono sztucznie wskutek podnoszenia do kwadratu. 

 

 

 

 

 

 

 

Ostatecznie odpowiedź to: