Potrzebuję mieć to dobrze zrobione, prosiłbym także o wytłumaczenie.... Question from @Turbo989

Turbo989 @Turbo989

March 2022 1 8 Report

Potrzebuję mieć to dobrze zrobione, prosiłbym także o wytłumaczenie.

Aerrus

Odpowiedź:

2. $2\pi$ cm, $6\pi - 9\sqrt{3}$ cm^2

3. kąt środkowy $30^{\circ}$ , kąt wpisany $15^{\circ}$

Szczegółowe wyjaśnienie:

2. Pomocny będzie rysunek w załączniku. Wzór na długość okręgu to $L = 2\pi r$ . I jest to też długość łuku wyznaczonego przez kąt środkowy pełny (360 stopni). Zauważmy, że łuk wyznaczony przez kąt 60 stopni stanowi jedną szóstą całego okręgu, zatem jego długość będzie wynosić $\frac{1}{6}\cdot 2\pi r = \frac{1}{6} \cdot 2 \cdot \pi \cdot 6 = 2\pi$ cm. W ogólności długość łuku wyznaczonego przez kąt środkowy $\alpha$ stopni jest dana wzorem $l = \frac{\alpha}{360^{\circ}}\cdot 2\pi r$ .

Z kolei odcinek koła to część koła ograniczona cięciwą wraz z tą cięciwą, na rysunku został zaznaczony kolorem żółtym. Aby obliczyć pole odcinka koła, musimy najpierw policzyć pole wycinka koła a następnie odjąć od niego pole trójkąta ograniczonego cięciwą promieniami poprowadzonymi do krańców cięciwy (na rysunku trójkąt AOB). Pole wycinka koła o kącie środkowym $\alpha$ jest dane wzorem $P = \frac{\alpha}{360^{\circ}}\cdot \pi r^2$ . Wzór ten intuicyjnie "ma sens", ponieważ dzieląc koło na małe wycinki o kącie 1 stopień, do wycinka, którego pole liczymy, weźmiemy mniej więcej $\alpha$ spośród 360 z nich. Oczywiście to tylko intuicja, która ma się przełożyć na lepsze zrozumienie pochodzenia wzoru.

Zauważmy też, że trójkąt AOB jest równoboczny, ponieważ jest równoramienny (wszystkie promienie koła są równej długości) a kąt między ramionami to 60 stopni. Pole takiego trójkąta liczymy ze wzoru $P_{\triangle} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ , gdzie $a$ jest długością boku. Możemy już obliczyć pole odcinka koła:

$P = \frac{1}{6} \pi 6^2 - \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = 6\pi - 9\sqrt{3}$ .

3. Ponownie wykorzystamy wzór $l = \frac{\alpha}{360^{\circ}}\cdot 2\pi r$ . Tym razem podstawimy do niego znane $l$ i $r$ . Rozwiążmy równanie, by wyznaczyć $\alpha$ :

$2\pi = \frac{\alpha}{360^{\circ}}\cdot 2\pi \cdot 12\\1 = \frac{\alpha}{30^{\circ}}\\\alpha = 30^{\circ}$

W ten sposób znaleźliśmy kąt środkowy. Pozostaje dodać, że kąt wpisany to kąt, którego wierzchołek leży na okręgu, a ramiona przechodzą przez końce pewnej cięciwy, na której oparty jest kąt. Kąt wpisany ma zawsze miarę równą połowie miary kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Zatem kąt wpisany oparty na łuku z zadania ma miarę $15^{\circ}$ .

3 votes Thanks 1