Question

Poprowadzono symetralne trzech boków trójkąta o wierzchołkach A(-2,-3), B(6,5), C(-4,5). Podaj współrzędne punktu przecięcia się tych symetralnych

Answer 1

Odpowiedź:

A  = ( - 2 , - 3 ) , B = ( 6  ,  5 ) , C = ( - 4 , 5 )

xa = - 2 ,  xb  = 6 , xc = - 4 , ya  = - 3 , yb =  5  , yc = 5

1.

Obliczamy współczynniki kierunkowe prostych zawierających boki trójkątów

Prosta zawierająca wierzchołki A i B

a₁ = (yb - ya)/(xb - xa)  = ( 5  + 3)/(6 + 2) = 8/8 = 1

Prosta zawierająca wierzchołki B i C

a₂ = (yc - yb)/(xc  - xb) =  (5 - 5)/(- 4  - 6) = 0/(- 10) = 0

Prosta zawierająca wierzchołki A i C

a₃  = (yc - ya)/(xc - xa) = (5 + 3)/(- 4 +  2) = 8/(- 2) = - 8/2 = - 4

Symetralne w trójkącie są prostopadłe do boków trójkąta i przechodzą przez punkt środkowy danego boku

2.

Obliczamy współczynniki kierunkowe prostych prostopadłych do każdego boku trójkąta

Warunkiem prostopadłości prostych jest :

a₁ * a₂ = - 1

Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej AB

a₁' = - 1  : a₁  = - 1 : 1 = - 1

Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do boku BC

a₂' = - 1 : a₂

Ponieważ a₂ = 0 , więc współczynnik kierunkowy prostej nie istnieje , a prosta ma równanie równe współrzędnej x punktu środkowego boku

Obliczamy  współczynnik kierunkowy prostej AC

a₃' = - 1 : a₃ =  -  1 : (- 4) = 1/4

3.

Obliczamy współrzędne punktów środkowych boków trójkąta

Punkt środkowy boku IABI

x₁ = (xa + xb)/2 = (- 2 + 6)// = 4/2 = 2

y₁ = (ya + yb)/2 = (- 3  + 5)/2 = 2/2 = 1

Punkt środkowy boku IBCI

x₂ = (xb  + xc)/2 = ( 6  - 4)/2 = 2/2 = 1

y₂ = (yb + yc)/2 = (5+ 5)/2 = 10/2 = 5

Punkt środkowy boku IACI

x₃  = (xa  + xc)/2 = (- 2 - 4)/2 = - 6/2 = - 3

y₃ = (ya + yc)/2 = ( - 3 +  5)/2 = 2/2 = 1

4.

Obliczamy równania symetralnych boków trójkąta

Symetralna boku IABI

y = a₁' x + b = - x + b , punkt środkowy = (2 , 1  )

1 = - 1 * 2  + b

1 = - 2 + b

b = 1 + 2 = 3

y = - x + 3

Symetralna boku IBCI jest równa współrzędnej x punktu środkowego

x = 1

Do obliczenia współrzędnych punktu przecięcia symetralnych wystarczy rozwiązanie równania składającego się z wzorów dwóch symetralnych

Układ równań

y =  - x  + 3

x = 1

y = - 1 + 3 = 2

Punkt przecięcia symetralnych ma współrzędne (1 , 2 )