[ostatnie równanie możemy pomnożyć przez (-1), otrzymamy równanie równoważne, ale nieco prostsze] to
x³ + 5x² - 2x - 10 = 0
x = - 1, x = 1, odpada; x = - 2 to - 8 + 20 + 4 - 10 = 6 ≠ 0, odpada;
x = 2 to 8 + 20 - 4 - 10 ≠ 0;
x = - 5 to - 125 + 125 - 2 * (- 5) - 10 = 10 - 10 = 0 to x₁ = - 5
[Zaprezentowana metoda nazywana jest w matematyce metodą "przewidywań" - w tym przypadku szukałem pierwszego rozwiązania wśród dzielników wyrazu wolnego - można tą metodą szukać dalej x₂ i x3, ale to jest pracochłonne - dalej należy wielomian W(x) podzielić przez wielomian (x + 5), otrzymamy równanie kwadratowe, Δ,√∆ i mamy rozwiązanie. Ale metoda zależy też od tego co zauważymy..., - "patrząc w ten wielomian" - zauważyłem prostszą metodę:]:
x³ + 5x² - 2x - 10 = 0 [wyłączamy kolejno przed nawias] to x²(x + 5) - 2(x + 5) = 0 to (x + 5)(x² - 2) = 0 to x² - 2 = 0 to
x² = 2 to x = - √2 lub x = √2 to (x² - 2) = (x - √2)(x + √2)
lub ze wzoru skróconego mnożenia a² - b² = (a - b)(a + b)]
to: Odpowiedzi:
Wielomian W(x) rozłożony na czynniki:
W(x) =(x + 5)(x - √2)(x + √2)
Postać iloczynowa wielomianu W(x):
W(x) =(x + 5)(x - √2)(x + √2) = 0 [wpisać w miejscu wykropkowanym]
Odpowiedź:
zad 22
W(x) = - x³ + kx² + 2x - 2k ; x∈ R
zad 22.1
W(-1) = 4
4 = - (- 1)³ + k * (- 1)² + 2 * (- 1) - 2k
4 = - (- 1) + k - 2 - 2k
4 = 1 - 2 - k
4 = - 1 - ki
4 + 1 = k
k = 5
zad 22.2
W(x) = - x³ + 5x² + 2x - 2 * 5 = - x³ + 5x² + 2x - 10 = - x²(x - 5) + 2(x - 5) =
= (x - 5)(2 - x²) = (x - 5)(√2 - x)(√2 + x)
Odpowiedź:
Szczegółowe wyjaśnienie:
Zadanie 22.
W(x) = - x³ + kx² + 2x - 2k i x ∈ R.
Zadanie 22.1. Wyznacz wartość parametru k, wiedząc że W(-1) = 4.
to [W(x) = W(-1) = 4 to do wzoru wielomianu podstawiamy x = - 4]
W(-1) = - (-1)³ + k(-1)² + 2 * (-1) - 2k = 4 to - (-1) + k * 1 - 2 - 2k = 4
to 1 + k - 2 - 2k = 4 to - k = 4 + 1 to k = - 5 [ k = - 5 należy wpisać w miejsce kropkowane]
Zadanie 22.2.
to
[podstawiamy k = - 5 do wielomianu W(x) i przyrównujemy W(x) = 0, by wyznaczyć postać iloczynową]
W(x) = - x³ + kx² + 2x - 2k = - x³ - 5x² + 2x + 10 = 0 /* (-1)
[ostatnie równanie możemy pomnożyć przez (-1), otrzymamy równanie równoważne, ale nieco prostsze] to
x³ + 5x² - 2x - 10 = 0
x = - 1, x = 1, odpada; x = - 2 to - 8 + 20 + 4 - 10 = 6 ≠ 0, odpada;
x = 2 to 8 + 20 - 4 - 10 ≠ 0;
x = - 5 to - 125 + 125 - 2 * (- 5) - 10 = 10 - 10 = 0 to x₁ = - 5
[Zaprezentowana metoda nazywana jest w matematyce metodą "przewidywań" - w tym przypadku szukałem pierwszego rozwiązania wśród dzielników wyrazu wolnego - można tą metodą szukać dalej x₂ i x3, ale to jest pracochłonne - dalej należy wielomian W(x) podzielić przez wielomian (x + 5), otrzymamy równanie kwadratowe, Δ,√∆ i mamy rozwiązanie. Ale metoda zależy też od tego co zauważymy..., - "patrząc w ten wielomian" - zauważyłem prostszą metodę:]:
x³ + 5x² - 2x - 10 = 0 [wyłączamy kolejno przed nawias] to x²(x + 5) - 2(x + 5) = 0 to (x + 5)(x² - 2) = 0 to x² - 2 = 0 to
x² = 2 to x = - √2 lub x = √2 to (x² - 2) = (x - √2)(x + √2)
lub ze wzoru skróconego mnożenia a² - b² = (a - b)(a + b)]
to: Odpowiedzi:
Wielomian W(x) rozłożony na czynniki:
W(x) = (x + 5)(x - √2)(x + √2)
Postać iloczynowa wielomianu W(x):
W(x) = (x + 5)(x - √2)(x + √2) = 0 [wpisać w miejscu wykropkowanym]