Question

Ponawiam pytanie: Dany jest kwadrat o boku 1. Znaleźć miejsce geometryczne tych punktów płaszczyzny, dla których suma odległości od prostych zawierających boki kwadratu wynosi 4?

Answer 1

Ciekawe zadanie, dlatego je rozwiążę.

Środek kwadratu nie spełnia warunku o sumie odległości równej 4, ponieważ suma wynosi 4 * 0,5 = 2.

Łatwo zauważyć, że dowolny punkt leżący wewnątrz kwadratu będzie miał sumę 2.

A więc szukane punkty muszą leżeć na zewnątrz kwadratu.

Narysujmy symetralną kwadratu przechodzącą przez środki pary jego boków i oddalajmy się od kwadratu poruszając się po tej prostej. Gdy oddalimy się o x od bliższego boku, to odległość od drugiego (równoległego) wyniesie 1 + x, natomiast od pozostałych:

0,5 i 0,5.  Suma wyniesie więc x + (1+x) + 2*0,5 = 2x + 2

Aby suma była równa 4, czyli:

2x + 2 = 4

x musi wynosić 1.

Ale zauważmy, że na całym równoległym do boku kwadratu odcinku o długości 1 i odległym o 1 od tego boku suma odległości wyniesie 1 + 2 + x + (1 - x) = 4. Oczywiście ze względu na symetrię kwadratu takich odcinków równoległych do boków kwadratu będzie cztery.

Sprawdźmy, ile wynosi suma odległości dla punktów należących do odcinków łączących skrajne punkty znalezionych wcześniej 4 odcinków (połączenie ich utworzy symetryczny ośmiokąt o czterech bokach równych i czterech bokach równych .

Okazuje się, że odcinki dłuższe ośmiokąta także spełniają zadany warunek (suma odległości punktów od prostych zawierajacych boki kwadratu wynosi 4):

Weźmy dowolny punkt leżący na dłuższym boku ośmiokąta, wówczas jeśli odległość od boków poziomych kwadratu wyniesie x oraz 1 + x, a od boków pionowych odpowiednio (1 - x) oraz 1 + (1 - x), to suma wyniesie:

x + (1 + x) + (1 - x) + 1 + (1 - x) = 4 

Patrz rysunek w załączniku. Rozwiązaniem jest 8-kąt w kolorze czerwonym.