Question

POMOCY POTRZEBUJE NA DZIŚ DAJE NAJ

Answer 1

7)  Dane:   a = 10 cm   (krawedz podstawy)

                   h = a = 10 cm  ( wysokosc ostroslupa , bedaca jedna z krawedzi bocznych)

                   k - dlugosc pozostalych 2 krawedzi bocznych

        Obliczyc:  Pc, V

    Dwie sciany boczne sa trojkatami prostokatnymi rownoramiennymi o przyprostokatnych a=10cm. Pole kazdej z tych scian jest rowne:    P₁ = ½·a·a = ½·10·10 = 50 cm².

Trzecia sciana boczna, lezaca naprzeciw wysokosci ostroslupa, jest trojkatem rownoramiennym o podstawie a , ramionach  k  i wysokosci h₁.

Dlugosc krawedzi k , jako przekatna kwadratu o boku a , jest rowna:    k = a√2 = 10√2 cm.

Aby obliczyc pole tej sciany, nalezy obliczyc dlugosc wysokosci h₁ , korzystajac z tw. Pitagorasa:

    h₁² + (½a)² = k²

    h₁² + 5² = (10√2)²

     

h₁² = 200 - 25,         h₁² = 175,        h₁ = √175 = √(25·7) = 5√7 cm

Zatem pole trzeciej sciany bocznej jest rowne:

       P₂ = ½ · a · h₁ = ½ · 10 · 5√7 = 25√7 (cm²)

Pole podstawy:    Pp = (a²√3)/4 = (10²·√3)/4 = 25√3 (cm²)

Pc = Pp + Pb = Pp + 2P₁ + P₂ = 25√3 + 2·50 + 25√7 = 25(4 + √3 +√7) (cm²)

V = ⅓ · Pp · h = ⅓ · 25√3 · 10 = (250√3) /3 (cm³)

 

8)  W ostroslupie prawidlowym czworokatnym wszystkie krawedzie (podstawy oraz boczne) sa rowne a = 5cm. 

Objetosc poczatkowa ostroslupa = V = ⅓ · Pp · h

Wysokosc h obliczymy z tw . Pitagorasa:

h² + (½a)² = (a√3/2 )²         (sciany boczne sa trojkatami rownobocznymi)

h² + (5/2)² = (5√3/2)²

 h² + ²⁵/₄ = ⁷⁵/₄,          h² = 50/4        ⇒   h = ½√50 = ½√(25·2) = 5√2/2 cm

Czyli:    V = ⅓ · a² · h = ⅓ · 5² · 5√2/ 2 = 125√2 / 6 (cm³)

Krawedz a po zwiekszeniu o 20% jest rowna = a₁ =  a + 20%a = 120%a = 1,2 · 5 = 6 (cm)

Objetosc po zwiekszeniu krawedzi:   V₁ =  ⅓ · a₁² · h₁

h₁ = 120%h = 1,2 · 5√2/2 = 0,6·5√2 = 3√2 cm

   V₁ = ⅓ · 6² · 3√2 = 36√2 (cm³)

Obliczamy procentowy wzrost objetosci ostroslupa:

 

                                            125√2                            216√2 - 125√2

                             36√2 -  --------                        ------------------

V₁ - V                                        6                                          6

------ · 100% = ------------------ · 100% = ---------------------- · 100%  =

   V                               125√2                                         125√2

                                   --------                                       --------

                                         6                                                 6

 

 

   91√2             6                          91                        9100

= -------  · -------- · 100% = ------- · 100% = ------- % = 72,8 %

       6          125√2                     125                        125

 

Odp. Po zwiekszeniu wszystkich krawedzi o 20% , objetosc ostroslupa wzrosnie o  72,8%.

 

9)   Czworoscian foremny   o krawedzi  a = 6 cm,          V= ?           V = ⅓ · Pp · h

     h - wysokosc ostroslupa,     h₁  -  wysokosc podstawy

    h₁ = a√3 /2 = 6√3/2 = 3√3 cm

 Wysokosc  h obliczymy z tw. Pitagorasa:

   h² + (⅔ h₁)² = a²

   h² + (⅔ · 3√3)² = 6²

   h² + 12 = 36       ⇒     h² = 24    ⇒    h = √24 = √(4·6) = 2√6 cm

Pp = a²√3/4 = 6²·√3/4 = 9√3 (cm²

Zatem:   V = ⅓ · 9√3 · 2√6 = 6√18 = 6√(9·2) = 18√2 (cm³)