Pomocy :.... Question from @Dsx92

October 2018 1 28 Report

Pomocy :<

Cząstka znajduje się w stanie podstawowym w prostokątnej studni
potencjału o szerokości L i całkowicie nieprzepuszczalnych ściankach ( 0 < x < L) .
Oblicz prawdopodobieństwo znalezienia tej cząstki w obszarze

\frac{1}{3} L < x < \frac{2}{3} L

platon1984

Równanie Schroedingera wewnątrz studni:

$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}\Psi=E\Psi\\ \Psi=A\sin{\omega x+\phi}\\ \omega=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}$

poza studnią mamy rozwiązanie zerowe, jako, że zakładamy nieskończonąwysokosć potencjału (nieprzepuszczalne ścianki)

z warunku ciągłości funkcji falowej dla x=0 oraz x=L

$\Psi(0)=A\sin\phi=0\\ \phi=n\pi$

A nie może być równe zeru, gdyż wtedy rozwiązanie byłoby trywialne

$\Psi(L)=A\sin{\omega L}=0\\ omega L=n\pi\\ \omega=\frac{n\pi}{L}\\ \frac{2mE}{\hbar^2}=\frac{n^2\pi^2}{L^2}\\ E=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2mL^2}\\ E_1=\frac{\pi^2\hbar^2}{2mL^2}$

stałą A wyznaczyć należy z warunku normalizacji funkcji falowej (dla stanu podstawowego n=1)

$\int_{0}^{L}{|\Psi|^2,\ dx}=1\\ A^\int_{0}^{L}{\sin^2{\frac{\pi x}{L}} \, dx}$

całka ta jest dość prosta i nie będę jej tu szczegółowo liczył, podpowiem tylko, że trzeba skorzystać ze wzoru na cos(2x)=1-2sin^2{x}

$A^2(0.5L-\sin{\frac{2\pi L}{L}}/(4\pi/L))=0.5LA^2=1\\ A=\sqrt{\frac{2}{L}}\\ \Psi=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin{\frac{\pi x}{L}}$

Prawdopodobieństwo:
$P(L/3<x<2L/3)=\frac{2}{L}\int_{L/3}^{2L/3}{\sin^2{\frac{\pi x}{L}}\, dx}=\frac{2}{L}(x/2-\sin{\frac{2\pi x}{L}}/(4\pi/L))|_{L/3}^{2L/3}\\ P=\frac{2}{L}(L/3-\sin{\frac{4}{3}\pi}\cdot\frac{L}{4\pi}-L/6+\sin{\frac{\pi}{3}}\cdot\frac{L}{4\pi})\\ P=\frac{1}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2\pi}$