Question

Pomocy DAM NAJJJ DUŻO PKTTY
!!!!!
Zadanie 1
a)dane są punkty: A(- 1, - 6) B(k, - 9) , C(2,- 4) D(5, m). Wyznacz takie wartości k i m, aby wektory u=AB + BC i w=DC + CB były przeciwne
b)Wyznacz współrzędne wierzchołków trójkąta symetrycznego do trójkąta o wierzchołkach: A(- 10, - 2) B(- 6, 1) C(- 9,3) względem punktu P(- 4,1)

Answer 1

Odpowiedź:

Szczegółowe wyjaśnienie:

a) Wektory u i w są przeciwne, jeśli jeden z nich jest równy ujemny do drugiego. Zatem:u = AB + BC = (k - (-1), -9 - (-6)) + (2 - k, -4 - (-9)) = (k + 1, -3) + (2 - k, 5) = (3, 2) (*)

w = DC + CB = (5 - 2, m - (-4)) + (k - 2, -9 - (-4)) = (3, m + 4) + (k - 2, -5) = (-3, -2) (**)Z równania (*) wynika, że k + 1 = 3, czyli k = 2. Z równania (**) wynika, że k - 2 = -3, czyli k = -1. To sprzeczność, więc zadanie nie ma rozwiązania.b) Aby wyznaczyć wierzchołki trójkąta symetrycznego do trójkąta ABC względem punktu P, należy znaleźć punkty symetryczne do każdego z wierzchołków A, B i C względem punktu P.Współrzędne punktu symetrycznego do punktu A względem punktu P to (-10 + 2(-4), -2 + 2(1)), czyli (-18, 0).

Współrzędne punktu symetrycznego do punktu B względem punktu P to (-6 + 2(-4), 1 + 2(1)), czyli (-14, 3).

Współrzędne punktu symetrycznego do punktu C względem punktu P to (-9 + 2(-4), 3 + 2(1)), czyli (-17, 5).Zatem wierzchołkami trójkąta symetrycznego do trójkąta ABC względem punktu P są punkty (-18, 0), (-14, 3) i (-17, 5).

Answer 2

a) Wektory u i w będą przeciwne, jeśli ich iloczyn skalarny będzie równy -1:

u = AB + BC = (k+1, -3) oraz w = DC + CB = (k-7, m-4)u*w = (k+1)(k-7) + (-3)(m-4) = -1k^2 - 6k - 21 - 3m + 12 = -1k^2 - 6k - 3m - 10 = 0

Aby rozwiązać to równanie, potrzebujemy jeszcze jednego warunku. Możemy na przykład przyjąć, że długość wektora u jest równa długości wektora w:

|u| = sqrt((k+1)^2 + (-3)^2) = sqrt(k^2 + 2k + 10)|w| = sqrt((k-7)^2 + (m-4)^2)|u| = |w|

sqrt(k^2 + 2k + 10) = sqrt((k-7)^2 + (m-4)^2)k^2 + 2k + 10 = k^2 - 14k + 65 + m^2 - 8m + 1616k + m^2 - 8m - 55 = 0

Możemy teraz rozwiązać ten układ równań i otrzymać:k = -2, m = 5b) Najpierw obliczamy współrzędne punktu symetrycznego P względem punktu Q:x = 2Qx - Px = 2(-4) - (-10) = 2y = 2Qy - Py = 21 - (-2) = 4

Punkt symetryczny P to więc S(2,4). Teraz możemy wyznaczyć wierzchołki trójkąta symetrycznego:A' = 2Sx - Ax = 22 - (-10) = 14, 2Sy - Ay = 24 - (-2) = 10

B' = 2Sx - Bx = 22 - (-6) = 10, 2Sy - By = 24 - 1 = 7

C' = 2Sx - Cx = 22 - (-9) = 13, 2Sy - Cy = 24 - 3 = 5

Wierzchołki trójkąta symetrycznego to A'(14,10), B'(10,7) i C'(13,5)