Question

Polinom mempunyai akar akar yang membentuk barisan aritmatika, tentukan nilai a dan akar akar tersebut

Answer 1

Materi : Polinomial

x³ - 18x² + ax - 186 = 0, karena akar - akarnya membentuk barisan aritmatika, maka :



Untuk menyelesaikan ini, kita membutuhkan rumus berikut :

Untuk suku banyak ax³ + bx² + cx + d = 0, maka :



Sehingga diperoleh :



Selanjutnya,



Substitusikan saja persamaan (1) kepada (2), diperoleh :

a(a + (6 - a))(a+2(6 - a)) = 186

6a(12 - a) = 186

72a - 6a² = 186

6a² - 72a + 186 = 0 (bagi 6)

a² - 12a + 31 = 0

D = b² - 4ac = (-12)² - 4(1)(31) = 144 - 124 = 20

Karena D > 0 dan bukan suatu bilangan kuadrat, maka akar - akarnya irasional sehingga harus dicari dengan rumus abc.



Jika a = 6 + √5, maka b = 6 - 6 - √5 = -√5, sehingga :



dan untuk nilai a nya :

(6 + √5)(6) + (6 + √5)(6 - √5) + 6(6 - √5) = a

36 + 6√5 + 36 - 5 + 36 - 6√5 = a

36 + 31 + 36 = a

a = 103

Jika a = 6 - √5, maka b = 6 - 6 + √5 = √5, sehingga :



dan untuk nilai a nya :

(6 - √5)(6) + (6 - √5)(6 + √5) + (6)(6 + √5) = a

36 - 6√5 + 36 - 5 + 36 + 6√5 = a

36 + 31 + 36 = a

a = 103

Jadi, nilai a adalah 103 dengan akar - akarnya 6 - √5, 6, dan 6 + √5.

Catatan : a yang 6 ± √5 itu adalah suku pertama.

Semoga membantu.