Question

Pole powierzchni bocznej stożka jest 4 razy większe od pola podstawy. Obwód przekroju osiowego stożka jest równy 30. Oblicz objętość tego stożka.

Answer 1

Dane:
Pb=4P podstawy
obw przekroju=30
szukaneV=?

Pb=pi* r *l a Pp=pi *r2 a więc pi *r *l=4 pi *r2 /:pi *r
l=4r
2r +2l=30 /:2 i mamy że r+l=15
____________________________________________
l=4r i podstawiamy do r +4r=15
5r=15 /5
r=3
a więc l=4 *3
l=12
teraz z trójkąta prostokątnego liczymy h -przyprostokątną drugą jest r a przeciwprostokątną l
h2+r2=l2 czyli h2=l2-r2
h2=144-9
h2=135
h=pierw ze 135
V=1/3 *pi *r2 *h
V=1/3 *pi *9 *pierw z135
V=3 pierw z 135 *pi

Answer 2

Pp - pole podstawy stożka
Pb - pole powierzchni bocznej stożka
O - obwód przekroju osiowego stożka

Pp = πr²
Pb = πrl
O = 2r + 2l = 30 => r + l = 15
πrl = 4πr² => 4r²-rl = 0 => r(4r-l) = 0

r = 0 ∨ l = 4r
sprzeczność r = 3 ∧ l = 12

V = 1/3 πr²H

H² = l² - r² = 144 - 9 = 135
H = √135 = 3√15

V = 1/3π * 9 * 3√15 = 9π√15

odp: V = 9π√15

Answer 3

Pole powierzchni bocznej stożka jest 4 razy większe od pola podstawy. Obwód przekroju osiowego stożka jest równy 30. Oblicz objętość tego stożka

Pb = 4*Pp
O = 30
O = d + 2l = 2r + 2l = 30
Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoramienny
d = 2r - średnica podstawy
r - promień podstawy stozka
l - tworząca stożka

V = ?
1. Obliczam promień podstawy r i tworzacą stożka z układu równań:
Pb = 4*Pp
2r + 2r = 30 /:2

π*r*l = 4*π*r² /:πr
r + l = 15

l = 4r
r + 4r = 15

l = 4r
5r = 15 /5

l = 4r
r = 3

l = 4*3 = 12
r = 3

r= 3
l = 12

2. Obliczam wysokość H stożka
z przekroju osiowego stożka , gdzie:
H - przyprostokatna
r - przyprostokatna
l - przeciwprostokatna

h² + r² = l²
H² = l² - r²
H² = 12² - 3²
H² = 144 -9
H² = 135
H = √(135)
H = √9*√15
H = 3√15

3. Obliczam objetość stożka
V = 1/3*Pp*H
V = 1/3*π*r²*H
V = 1/3*π*(3)² *3√15
V = 9π*√15
V ≈ 109,45
Odp. Objetość stożka wynosi 9*π*√15 ≈ 109,45