Question

Pole koła opisanego na trójkącie równobocznym wynosi 24. Oblicz długość boku, pole i obwód trójkąta, a także pole koła wpisanego w dany trójkąt.

Answer 1

Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym to ⅔ długości jego wysokości. Promień okręgu w ten trójkąt wpisanego to ⅓ długości wysokości. Wysokość oznaczam jako h, promień opisanego R, a promień wpisanego r.
pole koła: πR²=24
R²=24/π
R=√(24/π)
R=⅔h => h=3/2R=3/2*√(24/π)
wysokość trójkąta równobocznego wynosi a√3/2, gdzie a to długość boku tego trójkąta.
a√3/2=h => a=2h/√3=2√3h/3 =2√3/3*3/2*(√24/π)=√3*√(24/π)=√(72/π)=6√(2/π)
Nie wiem jak dalekiej poprawności matematycznej nauczyciel od was wymaga, dlatego staram się wszystko wyliczać do końca zanim podstawię wartość π i √, po to, żeby błąd przybliżenia był jak najmniejszy.
stąd a=4,79 (nauczyciele czasem to też idioci, więc jeśli Ci powie, że wynik wyszedł zły, to pokaż mu dokładnie swoje rozwiązanie i każ błagać o przebaczenie:P)
pole trójkąta równobocznego wyraża się wzorem S=a²√3/4
Znowu wrócę do wartości a bez podstawienia danych
S=(6√(2/π))²√3/4=64√3/4π≈87,06≈87,1
obwód trójkąta Ob=3a=18√(2/π)≈14,36
Teraz ostatni punkt zadania, pole koła wpisanego. Promień koła wpisanego w trójkąt równoboczny to 1/3 jego wysokości. Stąd:
r=⅓h
r=⅓*3/2*√(24/π)=½√(24/π)=½*2√(6/π)=√(6/π)
stąd pole tego koła s (tym razem małe, dla zróżnicowania:P) wyraża się wzorem s=πr²=π*6/π=6.
Pozdrawiam i liczę na najlepsze rozwiązanie;-)