Question

Pole koła jest równe 72. Cięciwa CD przecina średnicę ABw punkcie E odległym o 5 cm od środka koła. Wiedząc, że pole trójkata EBD jest 9 razy większe od pola trójkata ACE, oblicz odległość cięciwy od środka koła.

Proszę o rozwiązanie i wytłumaczenie, a nie sam wynik.

Answer 1

Pole koła = 72 i 1/4 π

zatem

r = 8,5

Trójkąty ACE i EBD są podobne (na rysunku kolorowe kropki oznaczają odp. boki) .

Jeden z wzorów na pole trójkąta:

P = 1/2 * a^2 * (sinβ * sinγ / sinα)

Pole trójkąta EDB = 9 * pole trójkąta ACE

Kąty w obu trójkątach są identyczne

9 * 1/2 * (3,5)^2 * (sinβ * sinγ / sinα) = 1/2 * (ED)^2 * (sinβ * sinγ / sinα)

ED = 10,5

 

Poszukiwana odl. cięciwy od środka oznaczona jest jako x na rysunku.

Kolejny wzór na pole trójkąta:

√(p(p-a)(p-b)(p-c)

p - połowa obwodu trójkąta

p trójkąta SDE = 12

Pole trójkąta SDE = √(12 * 7 * 1,5 * 3,5) = 21

Z wzoru na pole trójkąta 1/2 * a * h otrzymujemy (h to poszukiwane x)

21 = 1/2 * 10,5 * h

42 = 10,5 * h

h = 4

 

Odl. cięciwy od środka = 4.