Question

Podstawa graniastosłupa prostego jest trapez równoramienny o wysokości √3 i kacie ostrym 60 stopni. Oblicz pole podstawy tego graniastosłupa, jeśli jego przekątna jest prostopadła do jednej z krawędzi.


Proszę o jak najszybszą odpowiedź

Answer 1

Rysunek pomocniczy podstawy tego graniastosłupa w załączniku.
Ramię trapezu wyznaczymy z własności trójkąta prostokątnego o kątach 30, 60 i 90 stopni.
Skoro wysokość trapezu to √3 a zarazem dłuższa z przyprostokątnych(a√3), to krótsza przyprostokątna ma długość a=1, a przeciwprostokątna w tym trójkącie - ramię trapezu ma długość 2a=2.
Zajmiemy się teraz trójkątem prostokątnym, utworzonym przez przekątną trapezu, ramię trapezu oraz dłuższą podstawę trapezu.
Jest to także trójkąt prostokątny o kątach 30, 60 i 90 stopni oraz krótszej przyprostokątnej równej 2. Zatem przeciwprostokątna w tym trójkącie (a dłuższa podstawa w trapezie) ma długość 2*2=4.
Potrzebna jest nam jeszcze długość krótszej podstawy trapezu - jest to trapez równoramienny, zatem dłuższa podstawa jest sumą krótszej i dwóch odcinków, których długość już obliczyliśmy.
4=b+2*1, gdzie b-długość krótszej podstawy trapezu
zatem b=2
Stąd pole tego trapezu wynosi P=(4+2)*√3/2=3√3