Question

Podstawą ostrosłupa jest prostokąt, którego pole ma 54cm(kwadratowe), a stosunek długości boków wynosi 2:3. Krawędzie boczne ostrosłupa tworzą z płaszczyzną podstawy kąty o miarach równych 60(stopni). Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

Answer 1

Podstawą ostrosłupa jest prostokąt, którego pole ma 54cm(kwadratowe), a stosunek długości boków wynosi 2:3. Krawędzie boczne ostrosłupa tworzą z płaszczyzną podstawy kąty o miarach równych 60(stopni). Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.
a - długość podstawy ( prostokata)
b = 2/3a - szerokość prostokata
P = 54 cm² - pole podstawy ostrosłupa ( pole prostokata)
k - krawędź boczna ostrosłupa
d - przekatna podstawy ( prostokata)
α = 60° kat między krawędzią boczną k , a płaszczyzna podstawy( przekatna d podstawy)

V = ? - objetość ostrosłupa
Pc = ? - pole powierzchni całkowitej ostrosłupa

1. Obliczam bok a podstawy
b = 2/3a
P = a *b = 54 cm²
a *b = 54 cm²
a*(2/3a) = 54
2/3a² = 54 /*(3/2)
a² = 54*3/2
a² = 81 cm²
a = √81 cm²
a = 9 cm
2. Obliczam bok b podstawy
b = 2/3a
b = 2/3*9 cm
b = 6 cm
3. Obliczam przekatna d podstawy
d² = a² + b²
d² = (9cm)² + (6cm)²
d² = 81 cm² + 36 cm²
d² = 117 cm²
d = √117 cm²
d = √9*√13 cm
d = 3√13 cm

4. Obliczam wysokość H ostrosłupa
z trójkata prostokatnego, gdzie:
H - przyprostokatna leżąca naprzeciw kata α = 60°
1/2d - przyprostoatna leżąca przy kacie α = 60°
k - przeciwprostokątna
H : 1/2d = tg α
H = 1/2d* tg 60°
H = 1/2*3√13*√3
H = (3/2)*√39 cm

5. Obliczam krawędź boczną k ostrosłupa
H : k = sin α
(3/2)*√39 cm : k = sin 60°
(3/2)*√39 cm : k = 1/2*√3
k = 2*(3/2)*√39 cm : √3
k = 3√39 : √3
k = (3√39 : √3)*(√3:√3)
k = 3√39*√3 : 3
k = √39*√3
k = √13*√3*√3
k = 3√13 cm

6. Obliczam objętość ostrosłupa
V = 1/3*Pp*H
V = 1/3*54 cm² *(3/2)*√39
V = 27√39 cm³

7.Obliczam wysokość hś1 ściany bocznej o podstawie a = 9 cm
(hś1)² + (1/2a)² = k²
(hś1)² = (3√13)² - (9/2)²
(hś1)² = 9*13 - 91/4
(hś1)² = 117 -22,75
(hś1)² = 94,25
hś1 = √94,25
hś1 = √377/4
hś1 = 1/2*√377
hś1 ≈ 9,71 cm

8. Obliczam wysokość hś2 ściany bocznej o podstawie b = 6 cm
(hś2)² + (1/2b)² = k²
(hś2)² = (3√13)² - (6/2)²
(hś2)² = 9*13 - 9
(hś2)² = 117 - 9
(hś2)² = 108
hś2 = √108
hś2 = √36*√3
hś2 = 6√3 cm
hś2 ≈ 10,38 cm
9. Obliczam pole całkowite
Pc = Pp + 2*1/2*a*hś1 + 2*1/2*b*h ś2
Pc = 54 cm² + a*hś1 + b*hś2
Pc = 54 cm² + 9cm*1/2*√377 + 6 cm6√3 cm
Pc = 54 cm² + 9/2*√377 cm² + 36√3 cm²
Pc = 9(6 + 1/2*√377 + 4√3) cm²
Pc ≈ 9( 6 + 9,71 + 6,92) cm²
Pc ≈ 203,67 cm²