Question

Podstawą graniastosłupa prostego jest romb, którego bok ma 2 cm długości, a jeden z kątów wewnętrznych miarę 120 stopni. Wysokość graniastosłupa jest równa 5 pierwiastków z trzech. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Answer 1

Jeżeli kąt ma miarę 120⁰ ,to kąt ostry ma miarę 60⁰.
[( 360 - 2* 120) : 2 = 120 : 2 = 60 ]
Romb można podzielić na dwa przystające trójkąty równoboczne.
a = 2 cm
h = 5 √3 cm
h1 - wysokość Δ a zarazem rombu.
h1 = a√3/2 = 2*√3/2 = √3
h1 = √3 cm
Pp =2* PΔ =2*0,5* a*h1 =2* 0,5* 2 cm *√3 cm =2 √3 cm²
V = Pp*h =2 √3 cm² * 5√3 cm =2* 3*5 cm³ =30 cm³
Odp.
Objętość tego graniastosłupa jest równa 30 cm³.

Answer 2

Przekątne w rombie:
- przecinają się w połowie
- są prostopadłe
- są dwusiecznymi katów

z tego wynika otrzymujemy trójkąt prostokątny o katach ostrych: 30°60°, w którym połowy przekątnych są przyprostokątnymi zaś bok jest przeciwprostokątną.
Z własności trójkąta mamy:
połowa krótszej przyprostokątnej ½x=1cm , x=2cm
połowa dłuższej przyprostokątnej ½y=√3cm , y=2√3cm

II sposób obliczenia x i y:

Rozwiązując za pomocą funkcji trygonometrycznych i
tw. Pitagorasa:
sin60°=½y/2
√3/2=½y/2
½y = √3
y=2√3

mając dane a=2cm, y= 2√3 z tw. Pitagorasa:
(½x)²+(½y)²=a²
¼x²+¼y²=a²
¼x²=a²-¼y²
¼x²=2²-¼(2√3)²
¼x²=4-¼*4*3
¼x²=1 /*4
x²=4
x=2

z powyższych obliczeń mamy:
x=2cm , y= 2√3cm
z treści wiemy:
H=5√3cm

objętość graniastosłupa obliczamy ze wzoru:
V=Pp*H
Pp - pole podstawy
Pp=½x*y=½*2cm*2√3cm=2√3cm²
V=2√3cm²*5√3cm=30cm³

Odp. Objętość tego graniastosłupa jest równa 30cm³

Answer 3

Hg - wysokość graniastosłupa = 5√3
hr - wysokość rombu
a - bok rombu
Pp - pole podstawy

Prowadząc krótszą przekątną widzimy, że dzieli ona romb na 2 trójkąty równoboczne. Prowadzimy wysokość jednego z nich, która jest jednocześnie wysokością rombu. Wysokość w trójkącie równobocznym jest równa a√3 * 1/2. Zatem:
hr = 2 * 1/2 * √3 = √3
Pp = a * hr = 2 * √3 = 2√3
V = hg * Pp
V = 5√3 * 2√3 = 30cm³

odp: Objętość rombu jest równa 30 cm³.