Question

Podajcie, jak najwięcej wzorów z matematyki !
Daję NAJ ! ;)

Answer 1

Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym
a-n = 1an    dla a ∈ R\{0} ∧ n ∈ N

Potęga o wykładniku wymiernym
amn=am−−−√n    dla a ∈ R+∪{0}, m ∈ N i n ∈ N\{1} 
a-mn=1am√n    dla a ∈ R+, m ∈ N i n ∈ N\{1}

Działania na potęgach 
Jeżeli m, n ∈ R i a, b ∈ R+ albo m, n ∈ Z i a, b ∈ R i a ≠ 0 i b ≠ 0, to: 
am · an = am+n 
aman = am-n 
(a · b)m = am · bm 
(ab)m=ambm 
(am)n = am·n

Działania na pierwiastkach 
Jeżeli a ≥ 0, b ≥ 0, n ∈ N\{0, 1}, to: 
a⋅b−−−√n=a√n⋅b√n 
a√n−−−√m=a√mn 
(a√n)m=am−−−√n 
a⋅b√n=anb−−−√n 
(a√n)n=a 
ab−−√n=a√nb√n   dla b > 0

Wzory skróconego mnożenia
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2 
a2 - b2 = (a - b)(a + b) 
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 
a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2) 
a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)

Prawa działań na logarytmach 
Przy założeniu: a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, x > 0, y > 0: 
loga(x · y) = logax + logay 
logaxy=logax−logay 
logaxy=ylogax 
logax−−√n=1nlogax 
logbx=logaxlogab 
logab=1logba

Związki pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi
tgx=sinxcosx=1ctgx 
ctgx=cosxsinx=1tgx 
sin2x + cos2x = 1 (jedynka trygonometryczna)
tgα · ctgα = 1

Funkcje kąta podwójnego
sin2α = 2sinαcosα
cos2α = cos2α - sin2α = 2cos2α - 1
tg2α = 2tgα1−tg2α 
ctg2α = ctg2α−12ctgα

Funkcje połowy kąta
sinα2=ą1−cosα2−−−−−√ 
cosα2=ą1+cosα2−−−−−√ 
tgα2=1−cosαsinα 
ctgα2=1+cosαsinα

Funkcje sumy i różnicy kątów
sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ
cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ
sin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ
cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ
tg(α + β) = tgα+tgβ1−tgα⋅tgβ 
ctg(α + β) = ctgα⋅ctgβ−1ctgα+ctgβ 
tg(α - β) = tgα−tgβ1+tgα⋅tgβ 
ctg(α - β) = ctgα⋅ctgβ+1ctgα−ctgβWzory redukcyjne
sin(90° + α) = cosα
cos(90° + α) = -sinα
tg(90° + α) = -ctgα
ctg(90° + α) = -tgα

sin(270° + α) = -cosα
cos(270° + α) = sinα
tg(270° + α) = -ctgα
ctg(270° + α) = -tgα

sin(180° + α) = -sinα
cos(180° + α) = -cosα
tg(180° + α) = tgα
ctg(180° + α) = ctgα

sin(360° + α) = sinα
cos(360° + α) = cosα
tg(360° + α) = tgα
ctg(360° + α) = ctgα

Silnia    n! = 1 · 2 · 3 · ... · n

Symbol Newtona    Dla n, k∈N i 0 ≤ k ≤ n (nk)=n!k!(n−k)!

Permutacje    Pn = n!

Permutacje z powtórzeniami    Pn1,n2,...,nkn=n!n1!n2!...nk!

Wariacje bez powtórzeń    Vkn=n!(n−k)!

Wariacje z powtórzeniami    Wkn=nk

Kombinacje    Ckn=(nk)=n!k!⋅(n−k)!

Kombinacje z powtórzeniami    C−kn=(n+k−1k)=(n+k−1)!k!⋅(n−1)!

Pochodne funkcji elementarnych

FunkcjaPochodna funkcjiUwagi   y = cy' = 0c∈Ry = xαy' = αxα-1α∈R (x zależne od α)y = 1xy' = −1x2x∈R\{0}y = x−−√y' = 12x√x∈R+∪{0}y = axy' = axlnax∈R, a∈R+y = exy' = exx∈Ry = logaxy' = 1x logae = 1xlnax∈R+, a∈R+\{1}y = lnxy' = 1xx∈R+y = sinxy' = cosxx∈Ry = cosxy' = -sinxx∈Ry = tgxy' = 1cos2xx∈R, x≠ 12 π + kπ, k∈Cy = ctgxy' = −1sin2xx∈R, x≠kπ, k∈Cy = arcsinxy' = 11−x2√x∈(-1, 1)y = arccosxy' = −11−x2√x∈(-1, 1)y = arctgxy' = 11+x2x∈Ry = arcctgxy' = −11+x2x∈R

Trójkąt


Ob = a + b + c 

P=12ah



P=12absinγ=12bcsinα=12acsinβ,

P=p(p−a)(p−b)(p−c)−−−−−−−−−−−−−−−−−√,    gdzie p=12(a+b+c), (wzór Herona) 

R=abc4P,     (promień okręgu opisanego), 

r=Pp,     (promień okręgu wpisanego). 

Twierdzenie sinusów, kosinusów 

      asinα=bsinβ=csinγ=2r

      c2 = a2 + b2 - 2abcosγ
      b2 = a2 + c2 - 2accosβ
      a2 = b2 + c2 - 2bccosα

Twierdzenie Pitagorasa



a2 + b2 = c2 

Czworokąty


Ob = a + b + c + d
P=12d1⋅d2⋅sinα 
d1, d2 - przekątne czworokąta, 
α - kąt zawarty między przekątnymi
h - wysokość czworokąta


Pole czworokąta wpisanego w okrąg:
P=(p−a)(p−b)(p−c)(p−d)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√,    gdzie p=12(a+b+c+d) 


Trapez

Obwód trapezu:     Ob = a + b + c + d
Pole trapezu:     P=12(a+b)⋅h 





Równoległobok

Ob = 2a + 2b 
P = a · h = a · b · sinα
P=12d1⋅d2⋅sinγ 



Romb

Ob = 4a
P = a · h = a2 · sinα
P=12d1⋅d2 


Prostokąt

Ob = 2a + 2b 
P = a · b 
d=a2+b2−−−−−−√ 



Kwadrat

Ob = 4a
P = a2
P=12d2 
d=a2√ 


Deltoid

Ob = 2a + 2b 
P=12d1⋅d2 
P = a · b · sinα 

Koło i okrąg

r - promień koła,     π = 3,1415...

Pole koła     P = πr2
Długość okręgu     L = 2πr
Długość łuku     l=α360°⋅2πr 

Pole wycinka koła o kącie środkowym α     P=α360°πr2 
Pole odcinka koła o kącie środkowym α     P=α360°πr2−r2sinα2

Graniastosłupy

Pole powierzchni całkowitej:    Pc = Pb + 2Pp 
Objętość graniastosłupa:    V = Pp · H

Sześcian

Pc = 6a2 

V = a3 

d=a3√ 


Długość promienia kuli wpisanej 
r=12a 
Długość promienia kuli opisanej
R=12d=a3√2 


Prostopadłościan

Pc = 2ab + 2bc + 2ac 

V = abc 

d=a2+b2+c2−−−−−−−−−−√ 

Ostrosłupy

Pole powierzchni całkowitej: Pc = Pb + Pp 
Objętość ostrosłupa: V=13Pp⋅H

Czworościan foremny

Pc=a23√ 
V=a32√12 

Bryły obrotowe

Walec

Pole powierzchni bocznej: Pb = 2πrh 

Pole powierzchni całkowitej: Pc = 2πr(r + h) 

Objętość: V = πr2h 

Stożek

Pole powierzchni bocznej: Pb=πrl 

Pole powierzchni całkowitej: Pc=πr(r+l) 

Objętość: V=13πr2h 

Kula

Pole powierzchni całkowitej: P=4πr2 

Objętość: V=43πr3