Question

Podaj przykład nierownosci kwadratowej:
a) ktorej zbiorem rozwiazan jest zbior R
b) ktorej zbior rozwiazan jest jednoelemenowy
c) ktorej zbiorem rozwiazan jest przedzial liczbowy (2;7)
d) ktorej zbiorem roziwazan jest zbior R-{-5}

Prosze wytlumaczcie mi jak mam na to wpasc

Answer 1

A) mogą zajść dwa przypadki:
Parabola z ramionami do góry i leżąca całkowicie nad osią OX. Wtedy nierówność może być np być postaci:
x^2+4>0
lub
parabola z ramionami do dołu i leżąca całkowicie pod osią OX. Wtedy nierówność może być np być postaci:
-2x^2-5<0

b)
Aby rozwiązaniem nierówności kwadratowej był zbiór jednoelementowy parabowa będąca wykresem musi mieć z osią OX jeden punkt wspólny.
Przykładem mogą być nierówności:
(x-1)^2≥0
(2-x)^2≤0

c)
W tym wypadku miejsca zerowe funkcji kwadratowej to 2 i 7.
Jeżeli ramiona paraboli będą zwrócone do góry to nierówność może być np postaci:
(x-2)(x-7)<0
Jeżeli ramiona paraboli będą zwrócone do dołu to nierówność może być np postaci:
-2(x-2)(x-7)>0

d)
Funkcja musi mieć jedno miejsce zerowe równe -5.
Przykładowe nierówności to:
(x+5)^2>0
lub
-3(x+5)^2<0

Answer 2

a) Jest to każda nierówność, której wyróżnik kwadratowy(Δ) jest mniejszy od zera, a współczynnik a, zgodny z kierunkiem nierówności. I tak, np:

2x² - 3x + 9 > 0

b) Jest to nierówność, której Δ = 0, a znak współczynnika a, odwrotny do kierunku "ostrej' nierówności, np.:

x² - 2x + 4 ≤ 0

c) postać iloczynowa takiej funkcji ma postać:

y = a(x - 2)(x-7)

współczynnik a, musi być dodatni, podobnie jak Δ; niech a =1, wówczas:

(x-2)(x-7) < 0

x² -7x -2x +14 < 0

x² - 9x + 14 < 0 (nierówność ma taką właśnie postać)

d) W tym przypadku Δ = 0 , a znak nierówności jest nieostry

Jeżeli Δ = 0, to miejsce zerowe (pierwiastek) liczymy ze wzoru:

x= -b/ 2a

W praktyce wystarczy " ułożyć" funkcję spełniającą warunek:

f(-5)= 0 ; i tak np.:

y = x²+10x + 25

Współczynnik a, jest dodatni, a zatem "gałązki paraboli" są skierowane w górę.

W takiej sytuacji:

x² + 10x +25 > 0