POdaj liczbe punktow wpolnych okregu o srodku w punkcie O i promieniu R z okregiem o sordku w punkci.... Question from @boldon17

September 2018 1 45 Report

POdaj liczbe punktow wpolnych okregu o srodku w punkcie O i promieniu R z okregiem o sordku w punkcie S i promieniu r ,w zaleznosci od r
a) O(-3,0),R=5, S(4,0)
B)O(2,0),R=4,S(2,-1) PROSZE O SZYBKIE ROZWIAZANIE

Roma Znając współrzędne środków okręgów i długość ich promieni obliczając odległość między środkami obu okręgów oraz sumę i różnicę długości ich promieni, możemy na podstawie zależności między tymi wielkościami określić wzajemne położenie tych okręgów, czyli ustalić liczbę punktów wspólnych (patrz załącznik).

Zał.: R > 0 i r > 0 (liczby R i r określają długość promieni, więc muszą być dodatnie)

====================

a)
O = (- 3; 0), R = 5
S = (4; 0), r

$|OS| = \sqrt{(4-(-3))^2+(0-0)^2}=\sqrt{(4+3)^2}=\sqrt{7^2}=7 \\\\
R+ r = 5+r \\\\
|R - r| =|5-r|$

1. Okręgi mają nieskończenie wiele punktów wspólnych (pokrywają się), gdy |OS| = 0 i R = r

|OS| = 7 ≠ 0, więc dane okręgi nie są okręgami pokrywającymi się

2. Okręgi nie mają punktów wspólnych, gdy są współśrodkowe, czyli gdy |OS| = 0

|OS| = 7 ≠ 0, więc okręgi nie są współśrodkowe.

3. Okręgi nie mają punktów wspólnych, gdy są rozłączne:
a) zewnętrznie
$|OS| \ \textgreater \ R+r \\\
7 \ \textgreater \ 5+r \\\
5+r \ \textless \ 7 \\\
r \ \textless \ 7-5 \\\
r \ \textless \ 2 \\\
r \ \textless \ 2 \ \wedge \ r \ \textgreater \ 0 \\\
Zatem: \ 0 \ \textless \ r \ \textless \ 2, \ czyli \ r \in (0; \ 2)$

Okręgi są rozłączne zewnętrznie, czyli nie mają punktów wspólnych dla r ∈ (0; 2).

b) wewnętrznie
$|OS| \ \textless \ |R - r| \\\
7 \ \textless \ |5 - r| \\\
|5-r| \ \textgreater \ 7 \\\
5 - r \ \textgreater \ 7 \ \vee \ 5 - r \ \textless \ - 7 \\\
- r \ \textgreater \ 7 - 5 \ \vee \ - r \ \textless \ - 7 - 5 \\\
- r \ \textgreater \ 2 \ / \cdot (-1) \ \vee \ - r \ \textless \ - 12 \ / \cdot (-1) \\\
r \ \textless \ - 2 \ \vee \ r \ \textgreater \ 12 \\\
(r \ \textless \ - 2 \ \vee \ r \ \textgreater \ 12) \ \wedge \ r \ \textgreater \ 0 \\\
Zatem: \ r \ \textgreater \ 12, \ czyli \ r \in (12; \ + \infty)$

Okręgi są rozłączne wewnętrznie, czyli nie mają punktów wspólnych dla r ∈ (12; +∞).

4. Okręgi mają jeden punkt wspólny, gdy są styczne:
a) zewnętrznie
$|OS| = R+r \\\
7 = 5+r \\\
5+r = 7 \\\
r = 7-5 \\\
r = 2 \\\
r =2 \ \wedge \ r \ \textgreater \ 0 \\\
Zatem: \ r = 2$

Okręgi są styczne zewnętrznie, czyli mają jeden punkt wspólny dla r = 2.

b) wewnętrznie
$|OS| = |R - r| \\\ 7 = |5 - r| \\\ |5-r| =7 \\\ 5 - r = 7 \ \vee \ 5 - r =- 7 \\\ - r =7 - 5 \ \vee \ - r = - 7 - 5 \\\ - r =2 \ / \cdot (-1) \ \vee \ - r = - 12 \ / \cdot (-1) \\\ r = - 2 \ \vee \ r = 12 \\\ (r = - 2 \ \vee \ r =12) \ \wedge \ r \ \textgreater \ 0 \\\ Zatem: \ r =12$

Okręgi są styczne wewnętrznie, czyli mają jeden punkt wspólny dla r = 12.

5. Okręgi mają dwa punkty wspólne, gdy przecinają się.
$|R - r| \ \textless \ |OS| \ \textless \ R + r \\\
|R - r| \ \textless \ |OS| \ \wedge \ |OS| \ \textless \ R + r \\\
|5 - r| \ \textless \ 7 \ \wedge \ 7 \ \textless \ 5+r \\\
5 - r \ \textless \ 7 \ \wedge \ 5 - r \ \textgreater \ - 7 \ \wedge \ 5 + r \ \textgreater \ 7 \\\
- r \ \textless \ 7 - 5 \ \wedge \ - r \ \textgreater \ - 7 - 5 \ \wedge \ r \ \textgreater \ 7 - 5 \\\
- r \ \textless \ 2 \ / \cdot (-1) \ \wedge \ - r \ \textgreater \ -12 \ \wedge \ r \ \textgreater \ 2 \\\
r \ \textgreater \ -2 \ \wedge \ r \ \textless \ 12 \ \wedge \ r \ \textgreater \ 2 \\\
(r \ \textless \ 12 \ \wedge \ r \ \textgreater \ 2) \ \wedge \ r \ \textgreater \ 0 \\\
Zatem: 2 \ \textless \ r \ \textless \ 12, \ czyli \ r \in (2; \ 12)$

Okręgi mają dwa punkty wspólne, czyli przecinają się w dwóch punktach dla r ∈ (2; 12)

Podsumowując, dane okręgi:
- nie mają punktów wspólnych dla r ∈ (0; 2) i dla r ∈ (12; +∞),
- mają jeden punkt wspólny dla r = 2 i dla r = 12,
- mają dwa punkty wspólne dla r ∈ (2; 12).

====================

b)
O = (2; 0), R = 4
S = (2; - 1), r

$|OS| = \sqrt{(2-2)^2+(-1-0)^2}=\sqrt{0^2+(-1)^2}=\sqrt{1}=1 \\\\ R+ r = 4+r \\\\ |R - r| =|4-r|$

1. Okręgi mają nieskończenie wiele punktów wspólnych (pokrywają się), gdy |OS| = 0 i R = r

|OS| = 1 ≠ 0, więc dane okręgi nie są okręgami pokrywającymi się.

2. Okręgi nie mają punktów wspólnych, gdy są współśrodkowe, czyli gdy |OS| = 0

|OS| = 1 ≠ 0, więc okręgi nie są współśrodkowe.

3. Okręgi nie mają punktów wspólnych, gdy są rozłączne:
a) zewnętrznie
$|OS| \ \textgreater \ R+r \\\ 1 \ \textgreater \ 4+r \\\ 4+r \ \textless \ 1 \\\ r \ \textless \ 1-4 \\\ r \ \textless \ -3 \\\ r \ \textless \ -3 \ \wedge \ r \ \textgreater \ 0 \\\ Zatem: r \in \emptyset$

Nie istnieje taka wartość r, dla której okręgi byłby rozłączne zewnętrznie

b) wewnętrznie
$|OS| \ \textless \ |R - r| \\\ 1 \ \textless \ |4 - r| \\\ |4-r| \ \textgreater \ 1 \\\ 4 - r \ \textgreater \ 1 \ \vee \ 4 - r \ \textless \ - 1 \\\ - r \ \textgreater \ 1 - 4 \ \vee \ - r \ \textless \ - 1 - 4 \\\ - r \ \textgreater \ -3 \ / \cdot (-1) \ \vee \ - r \ \textless \ - 5 \ / \cdot (-1) \\\ r \ \textless \ 3 \ \vee \ r \ \textgreater \ 5 \\\ (r \ \textless \ 3 \ \vee \ r \ \textgreater \ 5) \ \wedge \ r \ \textgreater \ 0$
$Zatem: \ 0 \ \textless \ r \ \textless \ 3 \ \vee \ r \ \textgreater \ 5, \ czyli \ r \in (0; 3) \cup (5; \ +\infty)$

Okręgi są rozłączne wewnętrznie, czyli nie mają punktów wspólnych dla r ∈ (0; 3) ∪ (5; +∞).

4. Okręgi mają jeden punkt wspólny, gdy są styczne:
a) zewnętrznie
$|OS| = R+r \\\ 1 = 4+r \\\ 4+r = 1 \\\ r = 1-4 \\\ r = -3 \\\ r =-3 \ \wedge \ r \ \textgreater \ 0 \\\ Zatem: \ r \in \emptyset$

Nie istnieje taka wartość r, dla której okręgi byłyby styczne zewnętrznie.

b) wewnętrznie
$|OS| = |R - r| \\\ 1 = |4 - r| \\\ |4-r| =1 \\\ 4 - r = 1 \ \vee \ 4 - r =- 1 \\\ - r =1 - 4 \ \vee \ - r = - 1 - 4 \\\ - r =-3 \ / \cdot (-1) \ \vee \ - r = - 5 \ / \cdot (-1) \\\ r = 3 \ \vee \ r = 5 \\\ (r = 3 \ \vee \ r =5) \ \wedge \ r \ \textgreater \ 0 \\\ Zatem: \ r =3 \ \wedge \ r =5$

Okręgi są styczne wewnętrznie, czyli mają jeden punkt wspólny dla r = 3 i r = 5.

5. Okręgi mają dwa punkty wspólne, gdy przecinają się.
$|R - r| \ \textless \ |OS| \ \textless \ R + r \\\ |R - r| \ \textless \ |OS| \ \wedge \ |OS| \ \textless \ R + r \\\ |4 - r| \ \textless \ 1 \ \wedge \ 1 \ \textless \ 4+r \\\ 4 - r \ \textless \ 1 \ \wedge \ 4 - r \ \textgreater \ - 1 \ \wedge \ 4 + r \ \textgreater \ 1 \\\ - r \ \textless \ 1 - 4 \ \wedge \ - r \ \textgreater \ - 1 - 4 \ \wedge \ r \ \textgreater \ 1 - 4 \\\ - r \ \textless \ -3 \ / \cdot (-1) \ \wedge \ - r \ \textgreater \ -5 \ \wedge \ r \ \textgreater \ -3$
$r \ \textgreater \ 3 \ \wedge \ r \ \textless \ 5 \ \wedge \ r \ \textgreater \ -3 \\\
(r \ \textgreater \ 3 \ \wedge \ r \ \textless \ 5) \ \wedge \ r \ \textgreater \ 0 \\\
Zatem: 3 \ \textless \ r \ \textless \ 5, \ czyli \ r \in (3; 5)$

Okręgi mają dwa punkty wspólne, czyli przecinają się w dwóch punktach dla r ∈ (3; 5)

Podsumowując, dane okręgi:
- nie mają punktów wspólnych dla r ∈ (0; 3) ∪ (5; +∞),
- mają jeden punkt wspólny dla r = 3 i r = 5,
- mają dwa punkty wspólne dla r ∈ (3; 5).