Question

podaj dla jakich wartości parametru "a" nierówność (a²-1) · 25ˣ -2(m-1) · 5ˣ + 2 >0 jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą? Proszę o dokładne wytłumaczenie. Za poprawną odpowiedz, wytłumaczenie i obliczenia daje naj 100pkt

Answer 1

Odpowiedź:

(a² - 1) *25ˣ - 2(a - 1) * 5ˣ + 2 > 0

(a² - 1) * 5²ˣ - 2(a - 1) * 5ˣ + 2 > 0

za 5ˣ wstawiamy z

(a² - 1)z² - 2(a - 1)z + 2 > 0

Nierówność jest postaci

ax² + bx + c > 0

spełniona jest przez każdą liczbę rzeczywistą gdy :

a ≠ 0 i Δ < 0

a² - 1 ≠ 0

(a - 1)(a +1 ) ≠ 0

a ≠ 1 ∧ a ≠ - 1

Δ = [- 2(a - 1)]² - 4 * (a² - 1) * 2 = (- 2a + 2)² - 8a² + 8 =

= 4a² - 8a + 4 - 8a² + 8 = - 4a² - 8a + 12

- 4a² - 8a + 12 < 0

Δ = (- 8)² - 4 * (- 4) * 12 = 64 + 192 = 256

√Δ = √256 = 16

a₁ = (8 - 16)/(- 8) = - 8/(- 8) = 8/8 = 1

a₂ = (8 + 16)/(- 8) = 24/(- 8) = - 24/8 = - 3

Ponieważ liczba przy a² ma wartość mniejszą od 0 więc ramiona paraboli skierowane do dołu , a wartości mniejsze od 0 znajdują się pod osią OX

a ∈ (- ∞ , - 3 ) ∪ (1 , + ∞ )

Teraz porównujemy otrzymane warunki dla liczby "a"

a ≠ - 1 ∧ a ≠ 1

a ∈ (- ∞ , - 3 ) ∪ (1 , + ∞ )

a ∈ (- ∞ , - 1 ) ∪ (- 1 , - 3 ) ∪ (1 , + ∞ )