Pochodne. Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji f.... Question from @KitoHoppe

January 2019 1 44 Report

Pochodne. Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji f.
$f(x)= \frac{4x-5}{x^2-1}$

Paawełek Dziedzina funkcji to $x\in \mathbb{R}\setminus \{-1,1\}$

1. Wyznaczasz pochodną funkcji (ze wzoru na pochodną ilorazu):

$f'(x)= \dfrac{(4x-5)'(x^2-1)-(x^2-1)'(4x-5)}{(x^2-1)^2}= \\ \\ =\dfrac{4(x^2-1)-2x(4x-5)}{(x^2-1)^2}= \\ \\ =\dfrac{4x^2-4-8x^2+10x}{(x^2-1)^2}= \\ \\ =\dfrac{-4x^2+10x-4}{(x^2-1)^2}$

2. Rozwiązujesz nierówność f ' (x) > 0. Rozwiązaniem jest przedział w którym funkcja jest rosnąca:

$\dfrac{-4x^2+10x-4}{(x^2-1)^2}\ \textgreater \ 0 \qquad /\cdot (x^2-1)^2 \\ \\ -4x^2+10x-4\ \textgreater \ 0 \qquad /:2 \\ \\ -2x^2+5x-2\ \textgreater \ 0 \\ \\ \Delta=25-16=9 \\ \\ x_1=\dfrac{-5+3}{-4}=\dfrac{1}{2} \\ \\ x_2=\dfrac{-5-3}{-4}=2 \\ \\ x\in \left(\dfrac{1}{2}, 2\right) \setminus \{1\}$

3. Wyznaczasz pozostały przedział (w tym przedziale jest malejąca):

$x \in \left(-\infty, \dfrac{1}{2}\right) \setminus\{-1\} \cup (2,+\infty)$

4. Formułujesz odpowiedź:

$\hbox{Funkcja jest rosnaca dla} \ \ x\in \left( \dfrac{1}{2}, 2\right) \setminus \{1\} \\ \\ \hbox{Funkcja jest malejaca dla} \ \ x \in \left(-\infty, \dfrac{1}{2}\right) \setminus\{-1\} \cup (2,+\infty) \\ \\ \hbox{W punktach} \ \ x=\dfrac{1}{2} \ \ \hbox{oraz} \ \ x=2 \ \ \hbox{osiaga ekstrema}.$