Question

Pilnie!
Z czterdziestu pięciu kwadratowych płytek o boku długości 1 i jednej kwadratowej płytki o boku długości a ułożono kwadrat. Liczba a może być równa

(A) 2
(B) 4
(C) 6
(D) 8
(E) liczbie innej od wyżej wymienionych.

Answer 1

Odpowiedź:

                (A) 2   lub   (C) 6

Szczegółowe wyjaśnienie:

Kwadrat ma boki jednakowej długości, czyli musi mieć jednakową ilość płytek wzdłuż każdego boku.

Skoro wszystkie płytki są kwadratowe, to długość a jest częścią długości boku kwadratu. Wszystkie pozostałe płytki mają bok o długości 1, więc a musi być liczbą naturalną.

Zatem bok ułożonego kwadratu również jest liczbą naturalną, a jego powierzchnia wyrażona jest liczbą (większą od 45), będącą kwadratem liczby naturalnej.

Kwadraty kolejnych liczb naturalnych, większe od 45 to:

49 = 7²,  64 = 8²,  81 = 9²,  100 = 10²,  121  = 11²,  144 = 12², itd.

Sprawdzamy po kolei:

49 - 45 = 4 = 2²     ⇒ a = 2

64 - 45 = 19 = (√19)²     ⇒  a nie byłoby liczbą naturalną

81 - 45 = 36 = 6²     ⇒ a = 6

Widać zależność, więc ostatnią odpowiedź możemy sprawdzić w drugą stronę:

Jeśli a=8 to powierzchnia płytki o boku a wynosi 64

64+45 = 109 = (√109)²  - długość boku ułożonego kwadratu nie byłaby liczbą naturalną.