Pilne! Zadanie 1. Oblicz wysokość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego o objętości 21 pierwiastek 3 cm^3, jeśli promień okręgu opisanego na podstawie tego ostrosłupa jest równy 2 pierwiastek 3.
Zadanie 2. Wysokość ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 2cm. Oblicz długość krawędzi podstawy jeśli pole całkowite wynosi 21 cm ^2
Odpowiedź:
Szczegółowe wyjaśnienie:
zad 1
Objętość ostrosłupa:
V = 21√3 cm³
promień okregu opisanego na podsatwie R = 2√3
U podstawy jest trójkąt równoboczny (bo ostr prawidłowy)
Promień okregu opisanego jest równy 2/3 wysokości (h) trójkąta podstawy, czyli:
2h/3 = 2√3 -> h = 3√3
a ponieważ znamy wzór że w trójkącie równobocznym:
h = a√3/2 , gdzie a - bok trójkata, czyli:
a√3/2 = 3√3 -> a = 6
Pole trójkąta podstawy:
P = a² √3/4 = 36√3/4 = 9√3
Objętość V :
V = 1/3 * P * H -> H - wysokość ostrosłupa
V = 1/3 * 9√3 * H = 21√3
H = 21/3 = 7 cm
zad 2
Ostrosłup prawidłowy czworokątny, czyli u podstawy kwadrat o boku a.
Pole całkowite (Pc) = 4*Pole ściany bocznej (Pb) + Pole podstawy (Pp)
Pb = 1/2 * a * h - gdzie h - wysokość trójkata ściany bocznej
Pb = 1/2 *a * 2 = a cm²
Pp = a²
Pc = 21 = 4*Pb + Pp = 4*a + a² czyli:
a² + 4a = 21
mamy równanie kwadratowe:
a² + 4a - 21 = 0
Δ = 16 + 84 = 100 = 10²
a1 = (-4 +10)/2 = 3
a2 = (-4-10)/2 = -7 odpada !
Długość krawędzi podstawy :
a = 3