PILNE!!!!!!!!!!!!!!!!!! Test z matmy, macierze i całki - DAJE NAJ!!!!!! Najlepiej z wyliczeniami, je.... Question from @kajulka29

October 2018 1 18 Report

PILNE!!!!!!!!!!!!!!!!!! Test z matmy, macierze i całki - DAJE NAJ!!!!!! Najlepiej z wyliczeniami, jeśli zajdzie taka potrzeba ;)

cyfra

zadanie 1b

zadanie 2d

ad a: istniją macierze o diagonali złożonej np.: z samych 2

ad b: można mnożyć macierze o wymiarach m na n oraz n na m

ad c: nie jeżeli np.: wynacznik macierzy jest równy 0

zadanie 3a

$1\cdot 2 - 3\cdot(-1)= 2 + 3 = 5$

zadanie 4a

korzystamy z reguły sarrusa: http://pl.wikipedia.org/wiki/Regu%C5%82a_Sarrusa

$1\cdot(-1)\cdot9 + 2\cdot5\cdot3 + 3\cdot1\cdot6 - 3\cdot(-1)\cdot3 - 1\cdot5\cdot6- 2\cdot1\cdot9 = \\ = -9 + 30 + 18 + 9 - 30 - 18 = 0$

wynika to również stąd, że ostatni wiersz jest wielokrotnością pierwszego, czyli macierz jest utworzona przez wektory zależne liniowo

zadanie 5

metodą dopełnień algebraicznych: http://pl.wikipedia.org/wiki/Macierz_odwrotna

$detA = 0 + 0 + 1 - 0 - 5 - 0 = - 4\\ A^D = \left[\begin{array}{ccc}-5&0&1\\1&0&-1\\15&-4&-3\end{array}\right]^T\\ A^{-1} = \frac{1}{detA}A^D = \left[\begin{array}{ccc}\frac{5}{4}&-\frac{1}{4}&-\frac{15}{4}\\0&0&1\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\end{array}\right]$

zadanie 6c

$\left[\begin{array}{ccc}1&1&3\\2&1&1\\3&1&-1\end{array}\right] \begin{cases}W_2 = W_2 - 2W_1\\W_3 = W_3 - 3W_1\end{cases}\left[\begin{array}{ccc}1&1&3\\0&-1&-5\\0&-2&-10\end{array}\right]\\ \begin{cases}W_1 = W_1 + W_2\\W_3 = W_3 +2W_2\end{cases}\left[\begin{array}{ccc}1&0&-2\\0&-1&-5\\0&0&0\end{array}\right]$

otrzymaliśmy postać schodkową z dwoma niezerowymi wierszami

zadanie 7d

tworzymy odpowiednią macierz:

$\left[\begin{array}{ccc|d}2&-1&1&1\\-4&-12&1&2\\3&3&1&3\end{array}\right] \begin{cases}W_2 = W_2 + 2W_1\\W_3 = W_3 - W_1\end{cases} \\ \left[\begin{array}{ccc|d}2&-1&1&1\\0&-14&3&4\\1&4&0&2\end{array}\right] \begin{cases}W_1 = W_1 - 2W_3\end{cases} \\ \left[\begin{array}{ccc|d}0&-9&1&-3\\0&-14&3&4\\1&4&0&2\end{array}\right] \begin{cases}W_2 = \frac{1}{13}\left(W_2 - 3W_1\right)\end{cases}$

$\left[\begin{array}{ccc|d}0&-9&1&-3\\0&1&0&1\\1&4&0&2\end{array}\right] \begin{cases}W_1 = W_1 + 9W_2\\W_3 = W_3 - 4W_2\right)\end{cases} \left[\begin{array}{ccc|d}0&0&1&6\\0&1&0&1\\1&0&0&-2\end{array}\right]\\ \begin{cases}x = - 2\\y = 1\\z = 6\end{cases}$

zadanie 8a

patrz zadania 9, 10, 11

zadanie 9

$\int\frac{x^2 - \sqrt{x}}{\sqrt[3]{x}}xdx = \int\left(\frac{x^3}{x^{\frac{1}{3}}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{3}}}\right)dx = \int\left(x^{\frac{8}{3}} - x^{\frac{7}{6}}\right)dx=\\ =\frac{3}{11}x^{\frac{11}{3}} - \frac{6}{13}x^\frac{13}{6}} + C$

brak poprawnej odpowiedzi, jeżeli nie byłoby tego x przed dx to poprawna by była b

zadanie 10c

robimy podstawienie:

$\int\frac{x}{1 + x^2}dx = \begin{cases} y = 1 + x^2\\dy = 2xdy \Rightarrow xdx = \frac{1}{2}dy\end{cases} = \int\frac{1}{y}\cdot\frac{1}{2}dy = \frac{1}{2}\int\frac{1}{y}dy=\\ =\frac{1}{2}ln|y| + C= \frac{1}{2}ln|1 + x^2| + C$

zadanie 11a

robimy podstawienie:

$\int\sqrt{3x + 1}dx = \begin{cases} y = 2x + 1\\dy = 3dx \Rightarrow dx = \frac{1}{3}dy \end{cases} = \int\sqrt{y}\cdot\frac{1}{3}dy = \\ = \frac{1}{3}\int y^{\frac{1}{2}}dy = \frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3}y^{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{9}(3x + 1)^{\frac{3}{2}} + C$

zadanie 12c

$\int^t_{-t}(x^3 - x + 1)dx = \left(\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}x^2 + x\right) \right|^t_{-t} = \\ = \left(\frac{1}{4}t^4 - \frac{1}{2}t^2 + t\right) - \left(\frac{1}{4}(-t)^4 - \frac{1}{2}(-t)^2 + (-t)\right) = \\ = \frac{1}{4}t^4 - \frac{1}{2}t^2 + t - \frac{1}{4}t^4 + \frac{1}{2}t^2 +t = 2t$

niestety nie widzę przedziału po którym całkujemy (przyjełam t), ale jeżeli jest on symetryczny (tak mi to wygląda) to te obliczenia są poprawne a jedyną możliwą odpowiedzią jest liczba parzysta dodatnia

zadanie 13b

$\int^1_0\left(x + \sqrt[3]{x^2}\right)dx = \int^1_0\left(x + x^{\frac{2}{3}}\right)dx = \left(\frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}}\right)^1_0 = \\ = \left(\frac{1}{2}1^2 + \frac{3}{5}1^{\frac{5}{3}}\right) - \left(\frac{1}{2}0^2 + \frac{3}{5}0^{\frac{5}{3}}\right) = \frac{1}{2}+\frac{3}{5} - 0 -0=\frac{5 + 3\cdot2}{2*5} = \frac{11}{10}$

zadanie 14b

$\int^{\frac{\pi}{2}}_0sin(x)dx =-cos(x)|^{\frac{\pi}{2}}_0 = -cos\left(\frac{\pi}{2}\right) -\left(-cos(0)\right) = - 0 + 1 = 1$

zadanie 15d

Wyznaczamy granice obszaru ograniczonego:

$f(x) = g(x)\\ x^2 = 2x + 3\\ x^2 - 2x - 3 = 0\\ (x - 3)(x + 1) = 0\\ x = 3 \vee x = -1$

Liczymy odpowiednią całkę:

$\left|\int^3_{-1}\left(f(x) - g(x)\right)dx \right| = \left|\int^3_{-1}\left(x^2 - 2x - 3\right)dx \right| = \\= \left|\left(\frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x\right)^3_{-1} \right| = \\ = \left|\left(\frac{1}{3}3^3 - 3^2 - 3\cdot3\right) - \left(\frac{1}{3}(-1)^3 - (-1)^2 - 3\cdot(-1)\right) \right| = \\ =\left|\left(9 - 9 - 9\right) - \left(-\frac{1}{3} - 1 +3\right) \right| = \left|-9 +\frac{1}{3} +1 -3 \right| = \left|-11 +\frac{1}{3} \right| = \\ = \left|\frac{-11\cdot3+1}{3} \right| = \frac{32}{3}$