Question

Pilne! Proszę o rozwiązanie i wytłumaczenie jak to robić.
Wykaż, że czworokąt ABCD:
a) jest równoległobokiem, gdy A= (-2,1), B= (2,1), C= (3,5), D= (-1, 2)
b) jest rombem, gdy A= (2,1), B=(-2,0), C= (-3,4), D= (1, 5)
c) jest trapezem równoramiennym, gdy A=(3,0), B= (9,6), C= (6,6), D= (3,3)

Answer 1

A) Oby wykazać, że czworokąt jest równoległobokiem wystarczy sprawdzić czy środki jego przekątnych mają identyczne współrzędne:
przekątna AC ma środek (1/2 ; 3) i przekątna BD ma środek (1/2 ; 3/2)
przekątna AB ma środek (0 ; 1) i przekątna CD ma środek (1 ; 7/2)
przekątna AD ma środek (-3/2 ; 3/2) i przekątna BC ma środek (5/2 ; 3)
czyli ten czworokąt nie jest równoległobokiem lub jest błąd w danych.
     Być może punkt D = (-1; 5) wtedy mamy: 
     przekątna AC ma środek (1/2 ; 3) i przekątna BD ma środek (1/2 ; 3)
    więc czworokąt byłby równoległobokiem.

b) Oby wykazać, że czworokąt jest rombem wystarczy sprawdzić czy środki jego przekątnych mają identyczne współrzędne i kolejna boki mają równe długości:
  przekątna AC ma środek (-1/2 ; 5/2) i przekątna BD ma środek (-1/2 ; 5/2)
  Kolejne boki to AD i DC
  Długość boku AD:
   AD = pierwiastek[ (1-2)²+(5-1)²] = pierwiastek(1+16) = pierwiastek (17)
 Długość boku DC:
   DC = pierwiastek[ (-3-1)²+(4-5)²] = pierwiastek(16+1) = pierwiastek(17)
w tym przypadku czworokąt jest rombem.

c)  Oby wykazać, że czworokąt jest trapezem równoramiennym wystarczy sprawdzić, że dwa jego boki są równoległe, a natomiast boki nierównoległe mają tą sama długość.
Sprawdzamy czy współczynniki kierunkowe prostych AB i CD są identyczne:
współczynnik kierunkowy prostej AB:      a = (9-3)/6-0) = 6/6 = 1
współczynnik kierunkowy prostej CD:     k = (3-6)/3-6)) = (-3)/(-3) = 1
czyli proste AB i CD są równoległe.
W takim razie boki BC i AD są nierównoległe, sprawdzamy czy maja tę sama długość:
BC = pierwiastek[ (6-9)²+(6-6)²] = pierwiastek(9+0) = pierwiastek(9) = 3
AD = pierwiastek[ (3-3)²+(3-0)²] = pierwiastek(0+9) = pierwiastek(9) = 3
Boki nierównoległe są równej długości.
w  tym przypadku czworokąt jest trapezem równoramiennym.