Question

Pięć ponumerowanych kul umieszczamy losowo w czterech różnokolorowych pudełkach. Ile jest możliwych rozmieszczeń tych kul, jeżeli:
a) każda kula może znaleźć się w dowolnym pudełku,
b) kule mogą się znaleźć tylko w dwóch pudełkach?

Proszę o dokładne wyjaśnienie.

Answer 1

a)Pierwszą kulę na 4 sposoby..drugą na 4 sposoby :0 wariacje z powtórzeniami, bo pudełka mogą się powtarzać, czyli: 4^5


b)
do dwóch pudełek wkładamy 5 kul na 2^5 sposobów, jednak należy odjąć od tego 2 możliwości(wszystkie kule znalazły się w pierwszym pudełku oraz wszystkie kule znalazły się w drugim pudełku), czyli gdybyśmy mieli tylko 2 pudełka i układalibyśmy w nich kule tak by żadne pudełko nie było puste mielibyśmy 2^5-2 sposobów, ale tak się składa że mamy 4 pudełka, ilość możliwych wyborów 2 pudełek z 4 to  C2 na górze 4 na dole
zatem będzie C 2/4(2^5-2) możliwych rozmieszczeń kul 

Answer 2

a)

 

Reguła mnożenia: W syt. 1. rozważamy kulę pierwszą: możemy ją umieścić w 4 pudełkach i wtedy drugą również w 4, bo mamy do dyspozycji wszystkie pudełka, trzecią tak samo...

 

b)

 

Syt. 2: Mamy do wyboru 2 pudełka spośród 4. Możemy to zrobić na 4!/2!*2! sposobów, ponieważ liczba ta to liczba kombinacji dwuelementowych zbioru 4-elementowego. Następnie jak już wybierzemy pudełka, rozmieszczamy w nich kule. Pierwszą możemy umieścić na 2 sposoby, każdą kolejną również, więc otrzymujemy 2^5 sposobów. Jednak należy odjąc 2 możliwości (wszystkie kule znajdą się w 1. pudełku, wszystkie kule znajdą się w 2, pudełku)

4!/2!*2! = 3*4/2 = 6

2^5-2 = 32 - 2 = 30

 

 

Podsumowując: mamy 30*6 = 180