Question

Para medir la altura de una colina, cierta persona de 1.6 metros de estatura hasta su visual, utiliza la siguiente estrategia. Se ubica sobre un terreno horizontal, y observa la parte más alta de la colina con un ángulo de elevación de 45°. Luego se desplaza en dirección opuesta a la colina, una distancia de 58 metros, y observa nuevamente el mismo extremo de la colina con un ángulo de elevación de 34°.

¿Cuál es entonces la altura de la colina?

Answer 1

Si imaginas la posición del observador sobre el suelo, y su visión hacia la cima de la colina como la hipotenusa, la distancia que separa al hombre de la vertical de la colina el cateto horizontal, y la altura de la colina como el cateto vertical, de un triángulo rectángulo, podemos aplicar la trigonometría para solucionar esto.

Cuando ves la colina con un ángulo de 45º, la altura de la colina será el seno del triángulo imaginario que formamos, y el cateto horizontal, que es X, como el coseno.

Cuando nos alejamos, el ángulo será de 34º, y el coseno de X+58, pero el seno, la altura, no habrá cambiado, así que ya tenemos algo con lo que hacer una igualdad.

La tangente de un ángulo es igual al seno dividido por el coseno, así que:

Tan 45 = H / X, en el primer caso
Tan 34 = H / (X+58), en el segundo

Y si despejamos la H e igualamos en ambas ecuaciones:

Tan 45·X = Tan 34·(X+58)
1·X = 0'675·(X+58)
X - 0'675·X = 0'675·58
0'325·X = 39'15
X = 120'46m

Y como habíamos concluído que H = Tan 45·X, la altura de la colina será de 120'46m.