Question

parę pochodnych do policznie ,całek i rózniczek daję max

Answer 1

Po pierwsze do liczenia pochodnej korzystamy z dość istotnego twierdzenia o pochodnej złożenia. Mówi ono, że pochodną złożenia możemy zapisać mniej więcej tak:

 

 

Oznacza to, że najpierw liczymy pochodną zewnętrznej funkcji, a następnie mnożymy przez pochodną wewnętrznej funkcji. Tak można ciągnąć w nieskończoność jeśli funkcje są bardziej zagnieżdżone.

 

Zad1 a):

 

 

W tym przykłądzie widzimy, funkcją najbardziej na zewnątrz jest logarytm, a pochodną logarytmu jest 1/x. Zatem zapisujemy pochodną jako 1/(to co jest wewnątrz logarytmu). Zapiszę to w kilku krokach dla lepszego zrozumienia:

 

 

Dlatego przykład 1 będzie wyglądał następująco:

 

 

Można to potem ładniej jeszcze zapisać. Zwróć uwagę, że za każdym razem liczymy pochodne po kolei. Najpierw funkcji najbardziej zewnętrznej tak jakby to całe jej wnętrze było argumentem funkcji, a potem mnożymy przez pochodną wnętrzna i liczymy dalej.

 

Zad1 b):

 

Mamy wzór na pochodną iloczynu. Mówi on, że jeśli mamy dwie funkcje f i g (nie będę pisał f(x) ani g(x) aby poprawić czytelność) to pochodna ich iloczynu wyraża się jako:

 

 

Na tej podstawie widzimy, że pochodne iloczynu zapisujemy jako:

 

 

Gdy liczysz pochodne drugie i wyższe to po prostu obliczasz pochodne z pochodnych itd. Wszystkie pozostałe przykłady sprowadzają się do zastosowania twierdzenia o pochodnej złożenia oraz iloczynu funkcji. Nie będę rozwiązywał wszystkich, bo policzenie wyższych pochodnych jest dość pracochłonne.

 

Zad 2:

 

Liczenie całek jest nieco bardziej upierdliwe :D... Po pierwsze musisz znać twierdzenia. Najważniejsze to twierdzenie o całkowaniu przez części oraz twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie. Bez tego nie rozwiążesz nawet prostych całek. Poszukaj tych twierdzeń wraz z przykładami w internecie. Rozwiąże jedną całkę dla przykładu:

 

 

To na razie inna wersja zapisu. Teraz używamy całkowania przez części traktując ułamek jako pochodną, a logarytm jako funkcję. Uzyskujemy następujący wynik:

 

 

i całkujemy dalej:

 

 

Drugą całkę rozwiązujesz poprzez podstawienie . Do trzeciej musisz użyć tożsamości trygonometrycznej, która zamieni ci kwadrat sinusa na pierwszą potęgę innej funkcji. Pamiętaj, że masz tu do czynienia z całkami oznaczonymi.

 

Zad 3:

 

Równania różniczkowe. Z nimi jest więcej roboty. Także rozwiąże tylko jedno pierwsze i powiem jak rozwiązać pozostałe.

 

Pierwsze równanie rozwiązujemy metodą separacji zmiennych:

 

możemy zauważyć, że równanie to da się zapisać jako:

 

 

a teraz dokonując przekształcenia mamy:

 

 

Z racji iż lewa strona jest niezależna od y  a prawa od x możemy spokojnie nałożyć całki na obie strony uzyskując równanie całkowe:

 

 

które trzeba rozwiązać uzyskując:

 

 

Następnie należy to przekształcić:

 

 

i ostatecznie:

 

 

Tutaj są jeszcze dodatkowe warunki, ale jakbym miał pisać wszystko to zajęłoby to całą ksiązkę. Odsyłam do świetnej książki "Krysicki, Włodarski - Analiza matematyczna w zadaniach" chyba tak to szło.

 

Drugie zadanie to równanie różniczkowe liniowe, które jest jednorodne i ma stałe współczynniki. Tu jest trochę więcej opisywania niż w poprzednim przypadku więc odsyłam do krysickiego. Równania te można rozwiązywać bądź stosując podstawienie, bądź za pomocą transformaty Laplace'a.

 

Ostatnie równanie różniczkowe jest proste. Zobacz, że szukasz funkcji, której DRUGA POCHODNA równa jest cos(t)... czyli tak naprawdę musisz dwa razy scałkować cos(t) :). Po pierwszym całkowaniu masz: sin(t) + C, a po drugim:

 

-cos(t) + Ct + D, czyli wynik wynosi:

 

 

Zauważ, że się zgadza, bo jak policzysz drugą pochodną po tym wyrażeniu, to otrzymasz cos(t).

 

W razie problemów zapraszam do prywatnej wiadomości, ale nie licz, że rozwiąże za ciebie wszystkie zadania, mogę najwyżej wyjaśnić jak to zrobić.