Question

Pan Jan jest starszy od Pani Małgosi. Jeśli przestawimy cyfry liczby wyrażającej wiek Pana Jana to otrzymamy wiek pani Małgosi. Ponadto różnica kwadratów liczb wyrażających wiek każdego z nich jest kwadratem liczby całkowitej. Ile lat ma Pan Jan a ile Pani Małgosia ?

Answer 1

Zakładam, że oboje są młodsi niż 100 lat a - cyfra dziesiątek wieku pana Jana b - cyfra jedności wieku pana Jana 10a + b - wiek pana Jana 10b + a - wiek pani Małgosi (10a + b)^2 - (10b + a)^2 = (10a + b + 10b + a)(10a + b - 10b - a) = (11a + 11b)(9a - 9b) = 99(a + b)(a - b) = 9 *11(a + b)(a - b) 11 - liczba pierwsza Ponieważ a i b są cyframi to oczywiście: a - b < 11 Stąd a + b musi być wielokrotnością 11, a mamy a + b < 18, więc a + b = 11 Ponadto a - b musi być kwadratem jakiejś liczby naturalnej: a - b = 11 - 2b Wiemy, że b jest cyfrą, czyli 11 - 2b < 11, wypisujemy kwadraty liczb naturalnych mniejsze od 11: 1, 4, 9 I kolejno sprawdzamy: 11 - 2b = 9 => b = 1, a = 10 - nie jest cyfrą 11 - 2b = 4 => b = 3,4 - nie jest cyfrą 11 - 2b = 1 => b = 5, a = 6 65 - wiek pana Jana 56 - wiek pani Małgosi jak masz pytania to pisz na pw

Answer 2

Przyjmując wiek:
10x +y - p.Jana,
-------------------
gdzie:
10x - liczba dziesiątek
y - liczba jedności

10y +x - p.Małgosi,
------------------------
gdzie:
10y - liczba dziesiątek
x - liczba jedności,otrzymujemy:
(10x +y)^-(10y +x)^ = c^,gdzie:
c - liczba całkowita,
(^- do potęgi 2-giej)
100x^+20xy +y^ -(100y^ +20xy + x^)
100x^+20xy +y^ -100y^ - 20xy - x^
99x^ - 99y^ = 99(x^ -y^) = 9 *11(x +y)(x -y),
liczba 11 jest liczbą pierwszą (1 również)
x +y =11
x -y = 1
+
----------------
2x =12/2
x = 6
y = 5
Szukane liczby to: 65 i 56
Sprawdzenie: (65 -56)^ =9^ =81,
liczba 81 jest kwadratem liczby 9 (liczby całkowitej)
Odp.Pan Jan ma 65,a pani Małgosia 56 lat.