Question

OLIMPIADE MATEMATIKA


Soal:
Buktikan pertidaksamaan tersebut untuk a,b,c>0



#pakecara

Answer 1

Pertama Akan ditunjukkan bahwa
a²b²+a²c²+b²c²≥abc(a+b+c)
Dengan AM-GM
(a²+b²)/2 ≥ab
Sehingga c²(a²+b²)/2≥abc²
Dengan cara yg sama didapat
b²(a²+c²)/2≥ab²c dan a²(b²+c²)/2≥a²bc
Jumlahkan
2(a²b²+a²c²+b²c²)/2≥abc(a+b+c)
a²b²+a²c²+b²c²≥abc(a+b+c) .........(i)

Perhatikan pula dg AM-GM
(a⁴+b⁴)/2≥a²b²
(b⁴+c⁴)/2≥b²c²
(a⁴+c⁴)/2≥a²c²
Jumlahkan
2(a⁴+b⁴+c⁴)/2 ≥a²b²+a²c²+b²c²
a⁴+b⁴+c⁴≥a²b²+a²c²+b²c²≥abc(a+b+c)
Kedua ruas dibagi abc
a³/bc +b³/ac +c³/ab ≥a+b+c (TERBUKTI)