Ola napisała kolejno na kartce 9 dodatnich liczb całkowitych tak, że każda następna liczba, z wyjątk.... Question from @Natiskax

June 2022 1 6 Report

Ola napisała kolejno na kartce 9 dodatnich liczb całkowitych tak, że każda następna liczba, z wyjątkiem drugiej, jest sumą dwóch liczb napisanych bezpośrednio przed nią. Wiadomo, że ósmą liczbą napisaną przez Olę jest liczba 390. Podaj dziewiątą liczbę napisaną przez Olę. Proszę o odp i wyjasnienie, daje naj

sappho24680

Verified answer

Ciągi - różnica ciągu, wyznaczanie wyrazów.

Oznaczmy ósmą liczbę zapisaną przez Olę jako $a_8 = 390$
Oznaczmy pierwszą i drugą liczbę odpowiednio jako $a_1 \; i \; a_2$
Mamy wtedy liczby:
$a_1\\a_2\\a_3 = a_1+a_2\\a_4 =a_2+(a_1+a_2) = a_1 + 2 a_2\\a_5 =(a_1+a_2) + (a_1 + 2 a_2) = 2a_1 + 3 a_2\\a_6 =(a_1 + 2 a_2) + (2a_1 + 3 a_2) = 3 a_1 + 5 a_2\\a_7 =(2a_1 + 3 a_2) + (3 a_1 + 5 a_2) = 5 a_1 + 8 a_2\\a_8 = (3 a_1 + 5 a_2) + (5 a_1 + 8 a_2) = 8 a_1 + 13 a_2\\a_9 = (5 a_1 + 8 a_2) + (8 a_1 + 13 a_2) = 13 a_1 + 21 a_2$
Mamy równanie:
$8a_1 + 13 a_2 = 390\\8a_1 + 13 a_2 = 13 \cdot 30\\8a_1 = 13 \cdot (30 - a_2)$
zaś $a_1 \; i \; a_2$ muszą być całkowite, więc jedynie spełnione jest, gdy po obu stronach jest ten sam rozkład na dzielniki, czyli:
$a_1 = 13\cdot k\\30-a_2 = 8\cdot k$
dla pewnej liczby naturalnej $k$
Mamy więc dwie możliwe pary:
$a_1 = 13 \quad i \quad a_2 = 22\\a_1 = 26 \quad i \quad a_2 = 14$
Które dają nam dwie możliwe wartości dziewiątej zapisanej liczby:
$a_ 9 = 631 \quad lub \quad a_9 = 632$

W przypadku rozwiązywania zadań dotyczących liczb całkowitych warto korzystać z własności podzielności (oraz w szczególności rozkładu na czynniki pierwsze). Mimo, że teoretycznie mamy równanie z dwiema niewiadomymi jesteśmy w stanie rozwiązać je (z dokładnością do dwóch możliwych wyników) - korzystając z własności liczb całkowitych.

0 votes Thanks 0