Question

Okrąg ma promień 10 cm. Oblicz pole wpisanego w ten okrąg:

a). kwadratu

b).sześciokąta foremnego

c).trójkąta równobocznego

Answer 1

a) Przekątna kwadratu musi mieć długość średnicy czyli 2*10 cm = 20 cm
Przekątna kwadratu = a√2
gdzie a - długość boku
a√2 = 20 /:√2
a = 20/√2
a = (20√2)/2
a = 10√2
Pole = a*a = 10√2 * 10√2 = 100 * 2 = 200 cm²

b) Sześciokąt foremny to tak naprawdę 6 trójkątów równobocznych o boku długości promienia okręgu czyli bok a = 10 cm
Pole jednego trójkąta = (a²√3)/4 =
(10²√3)/4 = (100√3)/4 = 25√3 cm²
Pole całego sześciokąta = 6 * (25√3) = (150√3) cm²

c) 2/3 wysokości w takim trójkącie równobocznym jest równa promieniowi okręgu
zatem jeśli wysokość w takim trójkącie ma długość h = (a√3)/2
to tu tę wysokość można obliczyć
(2/3)*h = 10
(2/3)*((a√3)/2) = 10
(2a√3)/6 = 10 /*6
2a√3 = 60 /:2
a√3=30 /:√3
a=30/√3
a=(30√3)/3
a=10√3

Zatem bok tego trójkąta ma 10√3
Podstawiamy do wzoru na pole trójkąta równobocznego
(a²√3)/4
P = ((10√3)²√3)/4 =
(300√3)/4 = 75√3 cm²