Question

Określ monotoniczność funkcji |x| z definicji monotoniczności funkcji.

Answer 1

Rozwiązanie:

Sprawdzamy, czy funkcja jest rosnąca:

Niech . Wtedy mamy pokazać, że:

co nie jest prawdą dla każdego . Kontrprzykład:

Wtedy zachodzi , ale:

zatem , czyli funkcja na pewno nie jest rosnąca.

Sprawdzamy, czy funkcja jest malejąca:

Niech . Wtedy mamy pokazać, że:

co nie jest prawdą dla każdego . Kontrprzykład:

Wtedy zachodzi , ale:

zatem , czyli funkcja na pewno nie jest malejąca.

Funkcja nie jest też stała (co wynika z powyższych rozważań). To oznacza, że funkcja jest niemonotoniczna.