Question

Określ liczbę pierwiastków równania w zależności od parametru m.

a) x² + (m-1)x + 1 = 0
b) x² + (m-1)x + m-4 = 0

Answer 1

Liczymy deltę (będę pisał że delta to d)
a)
d= (m-1)^2 - 4*1*1 = m^2 -2m +1 -4 = m^2 - 2m -3

1) d>0 (wtedy dokładnie 2 rozwiązania),
czyli m^2 - 2m -3>0
Teraz, liczymy deltę z powstałej nierówności kwadratowej (oznaczę D)
D= 2^2 - 4*1*(-3) = 4+12=16
pierwiastek z D to 4.
liczmy m1 i m2
m1=(2-4)/2 = -1
m2=(2+4)/2= 3

Robimy rysunek, jak w załączniku. Ramiona w górę, bo a>0. (a=1)
Odczytujemy z rysunku, kiedy wykres jest dodatni, czyli ponad osią - tam gdzie zakreskowałem na czerwono. Kółka otwarte bo nierówność typu > (nierówność ostra).

Odczytujemy, że m należy do przedziału (-niesk; -1) u (3; +niesk.) - wtedy mamy dwa rozwiązania

2) d=0 (wtedy mamy dokładnie jedno rozwiązanie)
Robimy analogicznie, właściwie możemy skorzystać z tego co zrobiliśmy, bo mamy teraz do rozwiązania: m^2 - 2m -3=0
m1 i m2 już policzyliśmy wcześniej

Czyli gdy m=-1 lub m=3 to mamy dokładnie jedno rozwiązanie

3) d<0
Analogicznie jak 1), właściwie możemy odczytać z rysunku z p.1), że jest to wszystko pod osią, czyli dla m należącego do przedziału (-1;3) nie mamy w ogóle rozwiązań rzeczywistych.
Na końcu dajesz odpowiedź:
2 rozw - dla m takiego i takiego
1 rozw - dla m takiego i takiego
0 rozw dla m takiego i takiego

Podpunkt b spróbuj sam (sama), robi się dokładnie tak samo.