Okno ma kształt prostokata na którego górnej podstawie dobudowano półkole.Obwód okna wynosi 5m.Jaka .... Question from @spokojnaanka

$[tex]\\ x - szerokosc \ okna \\ h - wysokosc \ prostokatnego \ okna \\2x+2h=5 \\x=2r \\r=\frac x2 \\x+2h+\frac12*2\pi r=5 \\x+2h+\pi r=5 \\x+2h+\frac12\pi x=5\implies 2h=5-x-\frac12\pi x \\h=-\frac12x-\frac14\pi x+\frac52 \\h=\frac52-\frac12x(1+\frac18\pi) \\ P=xh+\frac12*\pi *(\frac x2)^2 \\P=xh+\frac12\pi x^2 \\f(x)=x(-\frac12x-\frac18\pi x+\frac52) \\f(x)=-\frac12x^2-\frac18\pi x^2+\frac 52x \\f(x)=(-\frac12-\frac 18 \pi)x^2+\frac52 x \\x_w=-\frac{b}{2a} \\x_w=\frac52:2(\frac12+\frac18 \pi)$ /tex]

x∈(0, 5/2)

$\\x_w=\frac52:(1+\frac{\pi}{4})=\frac52:\frac{4+\pi}{4}=\frac52*\frac{4}{4+\pi} \\x_w=\frac{10}{4+\pi}$

Odp. Powierzchnia okna bedzie najwieksza, gdy szerokosc okna x=10/(4+π) m.

2 votes Thanks 1

mutopompka

Niech a oznacza szerokość okna, niech b oznacza wysokośc części prostokątnej okna.

(patrz załącznik z rysunkiem schematycznym). Wobec rysunku otrzymamy następujące zależności:

Obwód okna:

$Obw=2b+a+\frac{\pi a}{2}\\ 5=2b+a+\frac{\pi a}{2}\\ \\ P=a\cdot b+\frac{\pi \cdot\( (\frac{a}{2})^2}{2}\\ P=a\cdot b+\frac{\pi\cdot a^2}{8}$

Wyznaczmy długość b z obwodu i podstawmy pod pole. Otrzymamy:

$5=2b+a+\frac{\pi a}{2}\\ 2b=5-a-\frac{\pi a}{2}\ /\cdot\frac12\\ b=\frac{5-a}{2}-\frac{\pi a}{4}\\ \\ P=a\cdot b+\frac{\pi\cdot a^2}{8}\\ P=a\cdot(\frac{5-a}{2}-\frac{\pi a}{4})+\frac{\pi\cdot a^2}{8}\\ P=\frac{5a-a^2}{2}-\frac{\pi a^2}{4}+\frac{\pi a^2}{8}\\ P=\frac52a-\frac12a^2-\frac{2\pi a^2}{8}+\frac{\pi a^2}{8}\\ P=\frac52a-\frac12a^2-\frac{\pi}{8}a^2\\ \\ Otrzymalismy\ ostatecznie:\\ P=(-\frac{\pi}{8}-\frac12)a^2+\frac52a$

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe niepełne. Wobec takiego równania wyznaczmy wartość maksymalną, a będzie to wartość równa wierzchołkowi tej paraboli (czyli punkt współrzenej p), która ma postac:

$p=\frac{-x}{2y}\\ \\ gdzie:\\ x=\frac52\\ y=(-\frac{\pi}{8}-\frac12)\\ \\ \\ Ostatecznie\ po\ podstawieniu\ otrzymamy:\\ \\ p=\frac{-\frac52}{2\cdot(-\frac{\pi}{8}-\frac12)}=\frac{-\frac52}{2(-\frac\pi{8}-\frac48)}=\frac{-\frac52}{2\cdot(-\frac{\pi-4}{8})}=\frac{-\frac52}{\frac{-\pi-4}{4}}=-\frac{5}{2}\cdot\frac{4}{-(\pi+4)}=\frac{10}{\pi+4}$

Odpowiedź: Szerokość okna, aby powierzchnia była największa musi mieć wartość:

$a=\frac{10}{\pi+4}$

1 votes Thanks 1

Zad.2.198 a) wzorcowo proszę

Zad. 2,198 f) wzorcowo proszę

Zad.2,197 d) wzorcowo proszę

Sprawdz, czy istnieje rozwiązanie równania należące do podanego przedziału 1. |3x+6|-|x-1|=5 x∈<-2 ,1> 2. 4|x+1|+|5x+10|=4 x∈(-∞ ,-2> wzorcowo, bez skrótów proszę

Doprowadz wyrażenia do najprostszej postaci 1. (4x-2)²/(4*|1-2x|) 2. (3x+6)²/[3√(x+2)²]

Rozwiąż nierówność, korzystając z własności wartości bezwzględnej 1. √(4-x²)>6 2. √(2x+3)²≥3 3. (5x-3)²-4≥0 4. 25-(2x+1)²>0 5. 9(x-2)²≤16

Zad 2.191 a), b) 2.192 c) , f )

Rozwiąż 3-|2-5x|>0 --------------------------------

Zad. 2.187 a) d) f) 2.188 a) b) d) 2.189 a) e) g) wzorcowo proszę

Zad. 2.186 a) b) f) wzorcowo proszę

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social