Oferuje 75 pkt zadania w załacznikiach.... Question from @Wikusia229

December 2018 1 39 Report

Oferuje 75 pkt
zadania w załacznikiach

MrPolygon Zad. 1.
Skoro $\textrm{tg }\alpha=\sqrt{3}$ , to musi być $\alpha=60^\circ$ .
Dalej mamy
$x=3\cdot\log_{\sqrt{3}}\ 3=3\cdot 2=6$ .

W czworokącie suma wszystkich kątów to 360°. Skoro dwa zaznaczone kąty mają w sumie 120°+60°=180°, to pozostałe dwa również muszą mieć razem 180°.

W czworokąt da się wpisać okrąg, gdy sumy długości przeciwległych boków są równe. My mamy z rysunku 7+5=12 oraz 6+6=12, więc faktycznie w ten czworokąt da się wpisać okrąg.

Na czworokącie można opisać okrąg, gdy sumy miat przeciwległych kątów są równe. Na naszym rysunku kąty przeciwległe dają w sumie 180°, więc na tym czworokącie rzeczywiście na się opisać okrąg.

Odpowiedź C.

Zad. 2.
Promień okręgu opisanego na kwadracie ma długość połowy przekątnej (tego kwadratu). Jeśli bok kwadratu to $a$ , to przekątn
a ma długość $a\sqrt{2}$ . Wobec tego:
$r=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}\ [\textrm{cm}]$ .

Zad. 4.
Rysunek w załączniku. Kąty przy wierzchołkach A i C muszą dawać w sumie 180°, więc
$\alpha+\gamma=180^\circ \\\\ \alpha=4\gamma \\\\ 4\gamma+\gamma=180^\circ \\\\ 5\gamma=180^\circ \\\\ \gamma=36^\circ \\\\ \alpha=144^\circ$

Tak samo kąty przy wierzchołkach B i D muszą w sumie dać 180°, czyli
$\beta+\delta=180^\circ \\\\ \delta=3\beta \\\\ \beta+3\beta=180^\circ \\\\ 4\beta=180^\circ \\\\ \beta=45^\circ \\\\ \delta=135^\circ$

Zad. 5.
Rysunek w załączniku. Kąty $\measuredangle FAE$ oraz $\measuredangle FDE$ są oparte na tym samym łuku, więc
$|\measuredangle FDE|=15^\circ$ . Długość przekątnej oznaczmy przez d. Wtedy
$\cos15^\circ=\dfrac{8}{d}$ .

Z tablic odczytujemy, że
$\cos15^\circ=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ , więc

$\dfrac{8}{d}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \\\\ 32=d\cdot\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right) \\\\ d=\dfrac{32}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=\dfrac{32\cdot(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{6-2}=8\cdot(\sqrt{6}-\sqrt{2})$

Wtedy
$r=4\cdot(\sqrt{6}-\sqrt{2}) \\\\ P_\circ=\pi\cdot r^2=\pi\cdot16\cdot(\sqrt{6}-\sqrt{2})^2= \\\\ =\pi\cdot16\cdot(6-2\sqrt{12}+2)=\pi\cdot16\cdot(8-4\sqrt{3})= \\\\ =64\pi(2-\sqrt{3})\ [\textrm{cm}^2]\approx53{,}87\ [\textrm{cm}^2]$

Zad. ostatnie
Dokładnie tak samo jak zadanie 4. Kąty przy wierzchołkach A i C muszą dawać w sumie 180°. Kąty przy wierzchołkach B i D również. Zatem:
$180^\circ=\alpha+\gamma=2\gamma+\gamma=3\gamma \\\\ \gamma=60^\circ\qquad oraz\qquad\alpha=120^\circ$ .

$2\beta=3\delta \Rightarrow \beta=\frac{3}{2}\delta \\\\ 180^\circ=\beta+\delta=\frac{3}{2}\delta+\delta=\frac{5}{2}\delta \\\\ \delta=72^\circ\qquad oraz\qquad\beta=108^\circ$

$\rule{100mm}{1pt}$
P.S. W treści zadania 1. jest błąd - taki czworokąt nie istnieje ;) Nie da się narysować takiego czworokąta, żeby miał boki 6,5,6,7 i kąty 120° i 60° jak na rysunku. Jest to praktycznie niemożliwe, więc z formalnego punktu widzenia prawidłową odpowiedzią jest D.

2 votes Thanks 0