Question

Odcinki AB i CD to odpowiednio, dłuższa i krótsza podstawa trapezu ABCD. Dwusieczna kąta B jest prostopadła do boku AD i przecina go w punkcie E tak, że |AE|=2|ED|. Wyznacz stosunek pól powierzchni figur, na które prosta BE dzieli trapez ABCD.

Answer 1

Przedłużmy boki AD i BC do przecięcia w punkcie F (rys.załącznik). Ponieważ odcinek BE jest prostopadły do AD zatem AD jest wysokościa tr. ABF, ponieważ BE jest jednocześnie dwusieczną kąta B, zatem tr. ABF jest równoramienny. Stąd łatwo zauważyć, że AE=EF=2x, oraz AF=4x i DF=x.
Łatwo zauważyć,że trójkąt ABF jest podobny do trójkąta DCF (bo AB równoległe do CD), a skala podobieństwa k= AF:DF = 4x:x = 4, stosunek pól tych trójkątów wynosi k²=16.
Przyjmując pole tr.DCF = 1, otrzymujemy pole tr.ABF = 16.
Pole tr.ABE=½×16=8 (połowa pola tr.ABF)
Pole BCDE = pole tr.BFE - pole tr.DCF = 8 - 1 = 7, stąd otrzymujemy
Pole(ABE):Pole(BCDE)=8:7