Question

Obwód prostokąta wynosi 18 dm.Na bokach prostokąta zbudowano półkola o średnicach równych długościom tych boków.Jakie powinny być wymiary prostokąta,aby suma pól czterech półkoli była najmniejsza?

Answer 1

odpowiedź w załaczniku z rysunkiem

Answer 2

 x - długość prostokąta

y - szerokośc prostokąta

 

Mamy

2 x + 2 y = 18  / : 2

x + y = 9    =>  y = 9 - x

------------------------------

r1 = x/2

r2 = y/2

Mamy

P = 2*( 1/2) pi*r1^2 + 2* (1/2) pi*r2^2 = pi* ( x/2)^2 + pi* ( y/2)^2 =

= ( pi* x^2) / 4 + ( pi* y^2)/4 = 0,25 pi *x^2 + 0,25 pi* ( 9 - x)^2 =

= 0,25 pi*x^2 + 0,25 pi*( 81 - 18 x + x^2) = 0,25 pi* ( 2 x^2 - 18 x + 81 ) =

= 0,5 pi*x^2 - 4,5 pi*x + 20,25 pi

Mamy funkcję

P( x) = 0,5 pi*x^2 - 4,5 pi* x + 20,25 pi

a = 0,5 > 0  dlatego ta funkcja posiada najmniejszą wartośc dla  x = p = ( 4,5 pi) /pi = 4,5

Wtedy   y = 9 - x = 9 - 4,5 = 4,5

x = y  

Odp.

Aby suma pól czterech półkoli była najmniesza prostokąt musi być kwadratem.

===============================================================

 

Trzeba wpisywać na jakim poziomie jest to zadanie  - liceum.