Question

Obwód podstawy prostopadłościanu jest równy 8. Przekątna prostopadłościanu o długości 2√3 tworzy z jedną ze ścian bocznych kąt 60 stopni.
a) Oblicz objętość i pole całkowite prostopadłościanu
b) Oblicz cos kąta między przekątnymi ścian bocznych prostopadłościanu wychodzącymi z jednego wierzchołka

Answer 1

O=8

1 kraw,podstawy=a

2 kraw,podstayw=b

przekatna bryly D=2√3

a)sin60=a/D

√3/2=a/2√3

2a=2√3·3

2a=6  /;2

a=3 

O=8

2a+2b=8

2·3+2b=8

6+2b=8

2b=8-6

2b=2  /:2

b=1

Pp=ab=3·1=3  j²

 

z pitagorasa

a²+b²=d²

3²+1²=d²

9+1=d²

d=√10--->dl,przekatnej podstawy

 

d²+h²=D²

(√10)²+h²=(2√3)²

10+h²=12

h²=12-10

h=√2 ---.dl,wysoksoci bryly

objetosc bryly

V=Pp·h=3√2  j³

Pb=2ah+2bh=2·3·√2+2·1·√2=6√2+2√2=8√2 j²

Pc=2Pp+Pb=2·3√2+8√2=6√2+8√2=14√2 j²

b)

poniewaz podstawa jest prostokatem zatem beda dwa katy 

a²+h²=x²

3²+(√2)²=x²

9+2=x²

x=√11----->przekatna 1 scinay bocznej

sinα=½d/x=√10/2 :√11=√10/(2√11)=(√110)/22 

(√110/22)²+cos²α=1

110/484+cosα=1

55/242+cos²α=1

cos²α=1-55/242

cos²α=187/242

cosα=√(187/242)

 

b²+h²=y²

1²+(√2)²=y²

1+2=y²

y=√3

sinα=½d/y=√10/2 :√3=(√10)/2√3=√30/6 

(√30/6)²+cos²α=1

30/36+cos²α=1

5/6+cos²α=1

cos²α=1-5/6

cos²α=1/6

cosα=√(1/6)=√6/6