Question

Obok przedstawiony jest fragment wykresu funkcji kwadratowej f, określonej w zbiorze R.
Na podstawie danych zaznaczonych na rysunku:
a) wyznacz wzór funkcji f w postaci ogólnej
b) podaj współrzędne punktu wspólnego paraboli funkcji f i osi OY
c) oblicz największą oraz najmniejszą wartość funkcji f w przedziale <–3; –2>.
Prosta przechodząca przez punkty A i W paraboli jest wykresem funkcji liniowej g. Odczytaj z rysunku, dla jakich argumentów funkcja g przyjmuje wartości większe niż funkcja f.

Answer 1

DANE:
W(3,-1) => p=3 , q=-1
A(5,-9)
Najlepiej zastosowac na początku postac kanoniczną:
y=a(x-p)^2+q
y=a(x-3)^2-1
Brakujacy wsp a policze korzystaja c z punktu A(5,-9
y(5)=-9
wiec
-9=a(5-3)^2-1
-8=4a
a=-2
wiec y(x)=-2(x-3)^2-1
postac ogolna:
y(x)=-2(x^2-6x+9)-1=-2x^2+12x-19
ODP a: y(x)=-2x^2+12x-19
y(0)=-19
b:  B(0,-19)
c: patrz zalacznik
ymin=-73
ymax=y(-2)=-2*25-1=-51
dla jakich argumentów funkcja g przyjmuje wartości większe niż funkcja f.
x<3 lub x>5

Pozdr

Hans

Answer 2

A)
Wzór ogólny funkcji kwadratowej: y = ax ² + bx + c  

Znając współrzędne wierzchołka paraboli W = (3; - 1) możemy skorzystać z postaci kanonicznej funkcji kwadratowej: y = a · (x – p) ² + q, gdzie p i q to współrzędne wierzchołka paraboli W = (p; q)  

Stąd:
y = a · (x – 3)² - 1  

Do wykresu funkcji f należy również punkt A = (5; - 9), zatem współrzędne tego punktu spełniają równanie funkcji f.

Stąd:
- 9 = a · (5 – 3)² - 1
a · 2² – 1= - 9
a · 4 – 1= - 9
4a – 1 = - 9
4a = - 9 +1
4a = - 8   |:4
a = - 2  

Równanie funkcji f w postaci kanonicznej ma wzór: y = - 2 · (x - 3)² - 1  

Przekształcając ten wzór otrzymujemy równanie funkcji f w postaci ogólnej:
y = - 2 · (x - 3)² - 1
y = - 2 · (x ² - 6x + 9) - 1
y = -2x² + 12x - 18 - 1
y = - 2x² + 12x - 19

b)
Miejscem przecięcia wykresu funkcji kwadratowej z osią OY jest punkt (0, c).  
Zatem punkt wspólny paraboli funkcji f i osi OY ma współrzędne: (0; - 19)

c)
Pierwsza współrzędna wierzchołka W, czyli x = 3 nie należy do przedziału <- 3; - 2>, zatem obliczamy wartości funkcji f na krańcach przedziału:
x = - 3 ⇒ y = - 2 · (- 3)² + 12 · (- 3) – 19 = - 2 · 9 - 36 - 19 = - 18 - 36 - 19 = - 73
x = - 2 ⇒ y = - 2 · (- 2)² + 12 · (- 2) – 19 = - 2 · 4 - 24 - 19 = - 8 - 24 - 19 = - 51  

W przedziale <- 3; - 2>:
- największa wartość funkcji f  wynosi: y = - 51 dla x = - 2
- najmniejsza wartość funkcji f  wynosi: y = - 73 dla x = - 3  

Na podstawie rysunku - patrz załącznik odczytujemy, że funkcja g przyjmuje wartości większe niż funkcja f dla x ∈ (-∞; 3) u (5; + ∞)