pierwiastek n stopnia z | sin (an)| = 1 ponieważ wartości sin (an) oscylują między 0 a 1 tak że wynikiem jest |1/ln 10| ≈ 0.43<1
zatem szereg niewątpliwie zbieżny.
0 votes Thanks 0
Piok
"pierwiastek n stopnia z | sin (an)| = 1 ponieważ wartości sin (an) oscylują między 0 a 1" Ojjj nie. Uważaj z takim wnioskowaniem, gdy a=pi to granicą nie jest 1. Ale nawet, gdy a nie jest całkowitą wielokrotnością pi to a*n może być bardzo dobrym przybliżeniem jakiejś wielokrotności pi przez co sin(an) będzie bardzo blisko zera.
Piok
Może się okazać, że będzie tak blisko, że nawet pierwiastek n tego stopnia nie zrobi z tego 1. Wchodzisz na subtelny temat aproksymacji diofanytycznej i gęstego wypełniania przedziału [-1,1] przez sin(an).
Piok
Rozwiązanie jest prostsze. Nałóż moduł i oszacuj z góry przez 1/(ln10)^n. Czyli szereg jest zbieżny bezwzględnie bo szereg geometryczny ogranicza go z góry. Bezwzględna zbieżność implikuje zbieżność.
Definitywnie kryterium Cauchy'ego.
pierwiastek n stopnia z| (sin(an))/(ln10)ⁿ|= |
pierwiastek n stopnia z |sin(an)|/ln10
pierwiastek n stopnia z | sin (an)| = 1 ponieważ wartości sin (an) oscylują między 0 a 1 tak że wynikiem jest |1/ln 10| ≈ 0.43<1
zatem szereg niewątpliwie zbieżny.