Question

obliczyć granicę ciągu:

Answer 1

Obliczenie tego limesa jest stosunkowo kłopotliwe i wymaga kilku kroków. Po pierwsze zwróćmy uwagę, że liczba elementów w tej sumie rośnie. Zapiszmy więc to ogólnie:

 

 

Teraz poszukujemy naszej granicy g. Na początku zobaczmy jak przedstawia się element a_n oraz a_n+1:

 

 

oraz:

 

 

Można teraz zauważyć, że element zawiera cząstkę elementu bez pierwszego elementu oraz z dodatkowymi dwoma na końcu:

 

 

Zapiszmy to więc w taki sposób:

 

 

Widzimy, że trzeci ułamek jest połową pierwszego, co oznaczyliśmy jako współczynnik 1/2 przy nim. Skoro tak, to możemy połaczyć pierwszy i trzeci ułamek razem:

 

 

potem:

 

 

Wzór został nieco przegrupowany i ułamek drugi w poprzednim wzorze ustawiony na pierwszym miejscu, a połączony ułamek pierwszy i trzeci na drugim miejscu.

 

Patrząc na wzór z treści zadania widzimy, że . Będzie to dość istotne spostrzeżenie. Spójrzmy też, że np: możemy zapisać jako:

 

 

i na końcu podstawiając za

 

 

Chcąc policzyć granicę w nieskończoności musimy dodawać wcześniej podane wyrazy ułamkowe dla n od 1 do nieskończoności, więc nasz problem wygląda teraz tak:

 

 

Po pierwsze widzimy, że pierwszy wyraz, czyli 1/2 można zapisać jako 1 - 1/2, czyli:

 

 

Teraz już można prosto zapisać to w postaci sumy:

 

 

Sytuacja wydaje się beznadziejna. Gdyby nie człon , ten szereg nie byłby zbieżny. Jednak szczęśliwie jest to szereg naprzemienny i spełnia pozostałe kryteria zbieżności. Jesli pogrzebiemy w głowie odpowiednio długo i przypomnimy sobie wzór Taylora, to możemy po dłuższym czasie  domyślić się, że rozwinięcie Taylora logarytmu naturalnego ma podobną postać:

 

 

Zauważmy, że jeśli , wtedy rozwinięcie wygląda identycznie jak nasz szereg. Podstawmy zatem , wtedy dostaniemy , a człon z potęgami jest zawsze równy 1. Wtedy dostaniemy:

 

 

Widzimy, że mamy równość, więc możemy zapisać:

 

 

W ostateczności odpowiedzią na pytanie jest:

 

 

Rozwiązanie jest poprawne, bo sprawdziłem je na przykładzie i faktycznie jest bardzo bliskie wartości , więc to wyraźna przesłanka, że w rozwiązaniu nie ma błedu. Niestety rozwiązanie nie jest w pełni formalne i nie jest wszystko dokładnie wyjaśnione. Tutaj niestety nie da się tego prosto i szybko opisać, bo trzeba korzystać z rozwinięć taylora i twierdzeń o zbieżności szeregu. Nie wymyśliłem prostszej metody rozwiązania tego i przypuszczam, że może nie istnieć żadna istotnie prostsza metoda, patrząc na to jakie wyszło rozwiązanie, ale mogę się mylić.

 

Zdecydowałem jeszcze dodać jeden argument za poprawnością rozwiązania. Można łatwo wyznaczyć w jakim przedziale znajduje się rozwiązanie. Zobaczmy, że:

 

 

Limes z prawej strony nierówności prosto policzyć:

 

 

zatem widzimy, że granica naszego ciągu musi być większa od 1/2. Z drugiej strony:

 

 

Natomiast limes po prawej stronie nierówności jest równy:

 

 

Ostatecznie:

 

 

Kiedy teraz sprawdzimy rozwiązanie analitycznie, to , czyli faktycznie:

 

 

Jest to kolejny dowód, że rozwiązanie ma sens.