Question

Obliczyć ekstremum funkcji:

1. x do potegi 3-ciej + 8y do potegi 3-ciej - 6xy + 5
2. x do potegi 3-ciej - 48x - 6xy +y do potegi drugiej


sory ze tak ale nie wiem jak te potegi sie robi... prosze o szybkie dokladne rozwiazania...

Answer 1

1. x do potegi 3-ciej + 8y do potegi 3-ciej - 6xy + 5
x³+8y³-6xy+5
Liczymy pochodne po x i po y
f'x=3x²-6y
f'y= 24y²-6x

Warunek konieczny istnienia pochodnej
f'x=0
f'y=0

{3x²-6y=0/:3
{24y²-6x=0/:6

{x²-2y=0
{4y²-x=0

{x²-2y=0
{x=4y²


{16y⁴-2y=0
2y(8y³-1)=0
y=0 y=1/2
x=0 x=1


Punkty podejrzane o istnienie ekstremum:
P= (0,0)
P1=(1,1/2)

badamy znak drugiej pochodnej
f'xx=6x
f'yy=48y

W punktach
f'xx(0,0)=0
F"xx(1,1/2)= 6>0 max

F'yy(0,0)=0
f"yy(1, 1/2)= 24>0

Zatem funkcja posiada max w punkcie (1, 1/2)



2. x do potegi 3-ciej - 48x - 6xy +y do potegi drugiej
x³-48x-6xy+y²
f'x=3x²-48-6y
f'y= -6x+2y


x²-16-2y=0( podzieliłam przez 3)
-6x+2y=0
2y=6x/:2 wstawiam do 1-go równania
y=3x

{x²-16-6x=0
x²-6x-16=0
Δ= 36+64
Δ=100
√Δ=10
x1=6-10/2=-2
x2=6+10/2=8
y=-6
y=24
Punkty
P=(-2,-6)
P= (8,24)
f"xx=2x
f"yy= 2

zatem w P (-2,-6)- max
P(8,24)-min