Oblicz wyznaczniki macierzy.... Question from @Beata789

January 2019 1 33 Report

Oblicz wyznaczniki macierzy
$\left[\begin{array}{cccccc}2&3&0&0&1&-1\\9&4&0&0&3&7\\4&5&1&-1&2&4\\3&8&3&7&6&9\\1&-1&0&0&0&0\\3&7&0&0&0&0\end{array}\right]$

Paawełek Popróbujemy :) Najpierw dodaj drugą kolumnę do pierwszej. Otrzymamy do obnliczenia:

$\det\left[\begin{array}{cccccc}5&3&0&0&1&-1\\13&4&0&0&3&7\\9&5&1&-1&2&4\\ 11&8&3&7&6&9\\ 0&-1&0&0&0&0\\ 10&7&0&0&0&0\end{array}\right] \\ \\$

Teraz rozwinięcie Laplace'a względem piątego wiersza. Jedyne przez co mnożymy to (-1) * (-1)^(2+5) =1. Więc wyznacznik Twojej macierzy wyniesie dalej:

$...=\det \left[\begin{array}{ccccc}5&0&0&1&-1\\13&0&0&3&7\\9&1&-1&2&4\\ 11&3&7&6&9\\ 10&0&0&0&0\end{array}\right]$

Od razu z łatwością mam rozwinięcie Laplace'a względem piątego wiersza. przed wyznacznikiem mam 10 * (-1)^(1+5) = 10. Więc dalej otrzymuję:

$...=10\cdot \det \left[\begin{array}{cccc}0&0&1&-1\\0&0&3&7\\1&-1&2&4\\ 3&7&6&9\end{array}\right]$

W kolejnym kroku do trzeciej kolumny dodaję czwartą. Mamy dalej:

$...=10 \cdot \det \left[\begin{array}{cccc}0&0&0&-1\\0&0&10&7\\1&-1&6&4\\ 3&7&15&9\end{array}\right]$

Dalej rozwinięcie Laplace'a względem wiersza pierwszego. Przed mamy (-1) * (-1)^(1+4) = 1. więc dziesiątka nie ulega zmian. Dalej mamy:

$...=10 \cdot \det \left[\begin{array}{ccc}0&0&10\\1&-1&6\\3&7&15\end{array}\right]$

I na końcu rozwinięcie Laplace'a względem pierwszego wiersza. przed będziemy mieć 10 * (-1)^(1+3) = 10. Ale 10 * 10 to już 100. Otrzymujemy ostatecznie:

$...=100 \cdot \det \left[\begin{array}{cc}1&-1\\3&7\end{array}\right] =100 (7+3)=100 \cdot 10 = 1000$

Zatem

$\det \left[\begin{array}{cccccc}2&3&0&0&1&-1\\9&4&0&0&3&7\\4&5&1&-1&2&4\\ 3&8&3&7&6&9\\ 1&-1&0&0&0&0\\ 3&7&0&0&0&0\end{array}\right]=1 \ 000$

1 votes Thanks 1