Question

Oblicz współrzędne takiego punktu P leżącego na prostej l (y=-x+1), którego odległość od prostej k (y=4x) jest równa 5pierwiastków z 2.

Answer 1

l: y=-x+1
P(x,-x+1)
k: y=4x
-4x+y=0
(|(-4)*x+1*(-x+1)|)/(sqrt(1+16))=5sqrt(2)
(|-4-x+1|)/(sqrt(17))=5sqrt(2)
|-x-3|=5sqrt(34)
-x-3=5sqrt(34) lub -x-3=-5sqrt(34)

-x=5sqrt(34)+3 lub -x=-5sqrt(34)+3

x=-5sqrt(34)-3 lub x=5sqrt(34)-3

x=-5sqrt(34)-3
y=(-5sqrt(34)-3)+1

lub

x=5sqrt(34)-3

y=(5sqrt(34)-3)+1

Answer 2

l : y = - x + 1

k: y = 4 x

------------------------

 

Punkt P leży na prostej l  , zatem ma współrzędne: x   i   ( - x + 1)

P = ( x ; - x + 1)

d ( p, k ) = 5 p(2)

Korzystamy z wzoru na odległość punktu od prostej:

 

d(P; k) = I A x0 + B y0 + C I / p( A^2 + B^2 )

Prosta k musi byc zapisana w postaci ogólnej

4x - y + 0 = 0

zatem

A = 4

B = - 1

C = 0

oraz   x0 = x; y0 = -x + 1

czyli

I 4 *x  - 1*( -x + 1) + 0 I / p( 4^2 + (-1)^2) = 5 p(2)

I 4x + x - 1 I / p( 16 + 1) = 5 p(2)

I 5 x - 1 I = 5 p(2)*p(17)

I 5 x - 1 I = 5* p(34)

zatem

5x -1 = - 5 p(34)      lub  5 x - 1 = 5 p(34)

5x = 1 - 5 p(34)       lub   5  x = 1 + 5 p(34)

x = 0,2 - p(34)        lub       x = 0,2 + p(34)

Obliczam y

y = -x + 1

y = - 0,2 + p(34) + 1 = 0,8 + p(34)     lub    y = -0,2 - p(34) + 1 = 0,8 - p(34)

Odp.

P = ( 0,2 - p(34) ; 0,8 + p(34) )   lub   P = ( 0,2 + p(34) ; 0,8 - p(34) )

===============================================================