Question

Oblicz sume wszystkich pierwiastków równania 2(sin^2x)+2^(cos^2x)=3

gdzie x należy <0: 315>

Answer 1

2^(1-cos²x)+2^(cos²x)=3/*2^(cos²x)

2^(2cos²x)-3^(cos²x)+2=0,   2^(cos²x)=t

t²-3t+2=0

Δ=9-4*2=1

t=(3-1)/2=1 v t=(3+1)/2=2

cos²x=0 v cos²x=1

cosx=0 v cosx=1v cosx=-1

x=kπ/2

Nalezy policzyc sume ciagu arytmetycznego a1=π/2, r=π/2

3,14*π/2<315

n=200

S_n=(2a1+(n-1)r)/2 * n

S_200=(2*π/2+199*π/2)/2 *200=100π+50*199π=10050π

 

Answer 2

2^(sin²x)+2^(cos²x) = 3,  gdzie x∈ <0;315>

a)

Rozwiązujemy równanie przekształcając równoważnie:

2^(sin²x)+2^(1-sin²x) = 3

2^(sin²x)+2¹·2^(-sin²x) = 3

2^(sin²x)+2·(1/2^(sin²x) = 3

Jeżeli podstawimy 2^(sin²x) = t > 0, to otrzymamy równanie:

t + 2/t -3 = 0

Rozwiązujemy:  

(t²-3t+2)/t = 0 <=>(t²-3t+2 = 0 i t ≠ 0),  

t²-3t+2 = 0

Δ = 9-8 = 1 

√Δ = 1 

t1 = (3+1)/2 = 2

t2 = (3-1)/2 = 1

czyli: 

2^(sin²x = 2   lub   2^(sin²x) = 1

sin²x = 1       lub    sin²x = 0

sinx = 1    lub   sinx = -1   v   sinx = 0 

Otrzymujemy stąd:

sinx = 1   <=> x = π/2 + 2kπ   i k∈C

lub

sinx = -1  <=> x = 3/2π+2kπ  i k∈C

lub

sinx = 0   <=> x = kπ             i k∈C.

Rozwiązanie mozemy zapisać ogólnie x = kπ/2  i  k∈C.

b)

Mozemy zapisać xk = kπ/2  i  k∈N. Jest to wzór ogolny ciagu arytmetycznego, gdzie:

xo = 0  i  r = π/2

Liczymy sumę wszystkich wyrazów tego ciągu, ktore zawierają się w przedziale <0; 315>

Ponieważ ciąg jest rosnący, jak również 100π < 315  i   201/2 ·π > 315, więc ostanim wyrazem ciagu, który nalezy do podanego przedziału jest xk = 100π, stąd k = 200.

Uwzględniając, że pierwszy wyraz ciagu ma wskaźnik 0, wnioskujemy, ze x₂₀₀ jest dwiescie pierwszym wyrazem ciagu.

Korzystając ze wzoru na sumę ciągu arytmetycznego, otrzymujemy:

S₂₀₁ = (x₀+x₂₀₁)/2 · 201 = (0+100π)/2 · 201 = 10050π

 

Odp. Suma wszystkich pierwiastków równania zawierajacych się w przedziale <0;315> jest równa 10050π